Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.

c ) ω s 2 s 2 + ω 2

Passo 1

Ooi pessoal, tudo na paz?

Nessa questão recebemos uma função F ( s ) dada por:

H s =   ω s 2 s 2 + ω 2

O objetivo é que determinemos quem é a h ( t ) tal que:

L h t = H ( s )

Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de F ( s ) :

L - 1 H s = h ( t )

Tranquilo?

Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.

Basicamente, se:

F s = L { f t } G s = L { g t }

Então, dizemos que a convolução de f e g obedece:

L - 1 F s ⋅ G s = ( f * g ) ( t )

E, pra calcular a convolução, basta fazer:

f * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:

L - 1 F s ⋅ G s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Beleza? Então vamo nessa!!

Passo 2

Bom, temos que:

H s =   ω s 2 s 2 + ω 2

Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar H ( s ) como o produto de duas funções de s que conhecemos as transformadas de antemão.

Como:

L - 1 ω s 2 + ω 2 = s e n   ω t

E:

L - 1 1 s 2 = t

Podemos separar o produto de funções como sendo:

F s = ω s 2 + ω 2

∴ f t = s e n   ω t  

E:

G s = 1 s 2

∴ g t = t

Assim, já que:

H s = F s ⋅ G s

∴ h t = L - 1 { F s ⋅ G s }

E, como vimos no passo 1 , vale que:

h t =   ∫ 0 t s e n ω t - τ ⋅ τ d τ

Prontinho! Precisamos calcular essa integral!

Passo 3

Queremos calcular:

h t =   ∫ 0 t s e n ω t - τ ⋅ τ d τ

Usando que:

u = ω ( t - τ )

Temos que:

d u = ω d τ

Além disso,

τ = t - u ω

Logo:

h t =   ∫ ω t 0 s e n u ⋅ t - u ω d u ω  

= ω t ω 2 ⋅ ∫ ω t 0 s e n u d u - 1 ω 2 ∫ ω t 0 u s e n ( u ) d u

= t ω - cos ⁡ u ω t 0 - 1 ω 2 - u ⋅ cos ⁡ u + s e n u ω t 0

= t ω cos ⁡ ω t - 1 - 1 ω 2 ω t ⋅ cos ⁡ ω t + s e n   ω t

Manipulando algebricamente, chegamos a:

h t = t ω - s e n   ω t ω 2

É isso aí gente! Terminamos mais uma 😊

Curtiu a solução? Responde Aí!

Resposta

t ω - s e n   ω t ω 2

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