Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Marque a alternativa que indica a transformada inversa da função

F s = s + 3 s + 1 s + 2

( )   f ( t )   =   2 e - t   -   e - 2 t

( ) f ( t )   =   - 3 e 2 t   +   2 e - t

( ) f ( t )   =   5 e 3 t   +   7 e - 2 t

( ) f ( t )   =   5 e 2 t   +   e - t

( ) f ( t )   =   e t   +   7 e - t

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a transformada inversa da nossa função:

F s = s + 3 s + 1 s + 2

Bom, podemos começar fazendo frações parciais pra nos ajudar. Então a gente separa o denominador e coloca as constantes A e B no numerador para poder descobrir o valor delas:

A s + 1 + B s + 2 = s + 3 s + 1 s + 2

Agora podemos fazer a igualdadedo numerador e descobrir os valores das constantes;

A s + 2 + B s + 1 = s + 3

s A + B = s → A + B = 1

2 A + B = 3

Podemos isolar B na primeira equação e substituir na segunda.

B = 1 - A

2 A + 1 - A = 3 → A = 2

Agora que sabemos A , podemos voltar na equação para acharmos B .

B = 1 - 2 = - 1

Maravilha! Descobrimos os valores das constantes. Agora podemos substituir na nossa fomra de frações parciais:

F s = s + 3 s + 1 s + 2 = 2 s + 1 - 1 s + 2

Com as frações parciais, a gente precisa olhar aquela tabela de transformadas de Laplace pra descobrirmos qual é a inversa. Coloquei uma tabela aqui, dá ma olhadinha.

A nossa função tem uma estrutura bem parecida com a da exponencial, não é? Nossa inversa então, fica:

f t = 2 e - t - e - 2 t

f t = 2 e - t - e - 2 t

Resposta

f t = 2 e - t - e - 2 t

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