Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

9. Usando uma tabela, inverta as transformadas dadas abaixo.

e) 2 s - 1 s 2 - 6 s + 18

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar ���

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada inversa de F s = 2 s - 1 s 2 - 6 s + 18 , ou seja, de F s → f t .

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

No enunciado, foi dito que para nos auxiliar, podemos usar a tabela de transformadas.

Então a ideia é reescrever F s de modo a substituir com alguma transformada da tabela e assim obter a função f t .

Entendeu? Bora ver como se faz! 😉

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é separar F s em frações parciais. Pra isso, fatoramos o denominador de F s ...

F s = 2 s - 1 s 2 - 6 s + 18 = 2 s - 1 s - 3 2 + 3 2

Temos que fazer s se transformar em s - 3 para ficar igual ao denominador

F s = 2 s - 3 + 6 - 1 s - 3 2 + 3 2

F s = 2 s - 3 + 5 s - 3 2 + 3 2

Assim, separamos em

F s = 2 s - 3 s - 3 2 + 3 2 + 5 1 s - 3 2 + 3 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Analisando s - 3 s - 3 2 + 3 2 , vemos que é muito parecido com a transformada de e a t cos ⁡ b t

L e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Portanto para essa fração, a = 3 e b = 3 .

Já para 1 s - 3 2 + 3 2 vemos que se parece muito com a transformada de e a t sen ⁡ b t

L e a t sen ⁡ b t = b s - a 2 + b 2

E nesse caso, a = b = 3 também.

L - 1 F s = L - 1 2 s - 3 s - 3 2 + 3 2 + L - 1 5 1 s - 3 2 + 3 2

Na segunda fração, vamos multiplicar e dividir por 3 ...

L - 1 F s = 2 · L - 1 s - 3 s - 3 2 + 3 2 + 5 3 · L - 1 3 s - 3 2 + 3 2

f t = 2 · e 3 t cos ⁡ 3 t + 5 3 · e 3 t sen ⁡ 3 t

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f t = 2 · e 3 t cos ⁡ 3 t + 5 3 · e 3 t sen ⁡ 3 t

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