Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

Ver Teoria

Enunciado

Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.

a ) 5,5 ( s + 1,5 ) ( s - 4 )

Passo 1

Faaala galerinha, tudo bom com vocês?

Nessa questão recebemos uma função F ( s ) dada por:

H s =   5,5 ( s + 1,5 ) ( s - 4 )

O objetivo é que determinemos quem é a h ( t ) tal que:

L h t = H ( s )

Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de F ( s ) :

L - 1 H s = h ( t )

Tranquilo?

Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.

Basicamente, se:

F s = L { f t } G s = L { g t }

Então, dizemos que a convolução de f e g obedece:

L - 1 F s ⋅ G s = ( f * g ) ( t )

E, pra calcular a convolução, basta fazer:

f * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:

L - 1 F s ⋅ G s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Beleza? Então vamo nessa!!

Passo 2

Bom, temos que:

H s =   5,5 ( s + 1,5 ) ( s - 4 )

Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar H ( s ) como o produto de duas funções de s que conhecemos as transformadas de antemão.

Como:

L e - a t = 1 s + a

Podemos separar as funções como sendo:

F s = 1 s + 1,5

Daí:

f t = e - 1,5 t

E:

G s = 1 s - 4

∴ g t = e 4 t

Assim:

H s = 5,5 ⋅ F s ⋅ G ( s )

Portanto, sobre a inversa de H ( s ) , como H s = 5,5 ⋅ F s ⋅ G ( s ) , temos que:

h t = 5,5 ⋅ f * g

⇒ h t = 5,5 ⋅ ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Ou seja:

h t =   5,5 ⋅ ∫ 0 t e - 1,5 τ ⋅ e 4 t - τ d τ

Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Queremos resolver:

h t =   5,5 ⋅ ∫ 0 t e - 1,5 τ ⋅ e 4 t - τ d τ

Manipulando o integrando:

h t = 5,5 ⋅ ∫ 0 t e - 1,5 τ + 4 t - 4 τ d τ

= 5,5 ⋅ e 4 t ⋅ ∫ 0 t e - 5,5 τ d τ

= 5,5 ⋅ e 4 t ⋅ - e - 5,5 τ 5,5 0 t

Substituindo os intervalos de integração, vamos ter:

h t =   e 4 t ⋅ ( 1 - e - 5,5 t )

∴ h t = e 4 t - e - 1,5 t

Prontinho gente! É isso aí, entenderam a solução?!

Até a próxima 😊

Resposta

h t = e 4 t - e - 1,5 t

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.5. F s = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.1. F s = 3 s 2 + 4
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.6. F s = 2 s - 3 s 2 - 4
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.4. F s = 3 s s 2 - s - 6
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.3. F s = 2 s 2 + 3 s - 4