Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Encontre a transformada de Laplace inversa de

F ( s ) = s 2 - s + 13 s 3 - 4 s 2 + 13 s

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função

F ( s ) = s 2 - s + 13 s 3 - 4 s 2 + 13 s

e, precisamos encontrar a transformada inversa definida como

f ( t ) = ℒ - 1 { F ( s ) }

Nós precisamos reescrever a função que o enunciado nos dá e então identificar ela através de transformadas conhecidas! Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é evidenciar um s no denominador de nossa transformada, temos que

F ( s ) = 1 s s 2 - s + 13 s 2 - 4 s + 13

no numerador temos que s 2 - s = s ( s - 1 ) , e a nossa transformada pode ser escrita como

F ( s ) = 1 s s ( s - 1 ) + 13 s 2 - 4 s + 13 = s - 1 s 2 - 4 s + 13 + 13 1 s 1 s 2 - 4 s + 13

ainda precisamos reescrever mais um pouco! Vamos tentar completar o quadrado no denominador, temos que

s 2 - 4 s + 13 = s 2 - 4 s + 4 + 9 = ( s - 2 ) 2 + 9

Portanto, a nossa transformada se torna

F ( s ) = s - 1 ( s - 2 ) 2 + 9 + 13 1 s 1 ( s - 2 ) 2 + 9

Antes de continuarmos, vamos ver quais funções conhecidas nos serão úteis! Saca só!

Passo 3

Temos que

ℒ { e a t s e n ( b t ) } = b ( s - a ) 2 + b 2

assim como

ℒ { e a t c o s ( b t ) } = s - a ( s - a ) 2 + b 2

e, também que

ℒ { ∫ 0 t f ( t - τ ) g ( τ ) d τ } = F ( s ) G ( s )

Vamos comparar os resultados acima com a nossa transformada, temos que

F ( s ) = s - 1 ( s - 2 ) 2 + 9 + 13 1 s 1 ( s - 2 ) 2 + 9

pelos denominadores podemos identificar que b = 3 e que a = 2 . Ou seja, podemos subtrair 1 e somar 1 no primeiro termo, e dividir e multiplicar o segundo termo por 3 , para obtermos o formato das transformadas conhecidas acima, saca só! Temos que

F ( s ) = s - 1 - 1 ( s - 2 ) 2 + 9 + 1 ( s - 2 ) 2 + 9 + 13 3 1 s 3 ( s - 2 ) 2 + 9

Isso faz surgir um segundo termo que ainda não está no formato, mas podemos dividir e multiplicar o segundo termo por 3 denovo, obtendo

F ( s ) = s - 2 ( s - 2 ) 2 + 9 + 1 3 3 ( s - 2 ) 2 + 9 + 13 3 1 s 3 ( s - 2 ) 2 + 9

Maravilha! Vamos aplicar a transformada inversa de ambos os lados! E obter o nosso resultado final!

Passo 4

Aplicando a transformada inversa em todos os termos, temos que

ℒ - 1 [ F ( s ) ] = ℒ - 1 { s - 2 ( s - 2 ) 2 + 9 } + 1 3 ℒ - 1 { 3 ( s - 2 ) 2 + 9 } + 13 3 ℒ - 1 { 1 s 3 ( s - 2 ) 2 + 9 }

o primeiro termo pode ser identificado como

ℒ - 1 { s - 2 ( s - 2 ) 2 + 9 } = e 2 t c o s ( 3 t )

o segundo é tal que

ℒ - 1 { 3 ( s - 2 ) 2 + 9 } = e 2 t s e n ( 3 t )

e, como temos que F ( s ) = ℒ { f ( t ) } e G ( s ) = ℒ { g ( t ) } , identificando que f ( t ) = 1 , e como temos

F ( 1 ) = 1 s

usando então que

ℒ - 1 { F ( s ) G ( s ) } = ℒ - 1 { 1 s 3 ( s - 2 ) 2 + 9 }

portanto, usando a terceira transformada conhecida que identificamos nos passos anteriores, obtemos que

∫ 0 t ( 1 ) e 2 t s e n ( 3 t ) d τ = e 2 t s e n ( 3 t ) ∫ 0 t d τ = t   e 2 t s e n ( 3 t )

Ou seja, finalmente, temos que a nossa transformada inversa é simplesmente

f ( t ) = e 2 t c o s ( 3 t ) + e 2 t s e n ( 3 t ) + t   e 2 t s e n ( 3 t ) = e 2 t c o s ( 3 t ) + ( t + 1 ) e 2 t s e n ( 3 t )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( t ) = e 2 t c o s ( 3 t ) + ( t + 1 ) e 2 t s e n ( 3 t )

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