Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(n)   ℒ - 1 { 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s 2 + 4 s + 3 ) }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Para podermos identificar a nossa função, primeiro temos que reescrever a fração dentro da transformada inversa, um primeiro movimento interessante que podemos fazer é expandir o polinômio

s 2 + 4 s + 3 = ( s + 1 ) ( s + 3 )

de forma que podemos reescrever nossa transformada como

  ℒ - 1 { 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) }  

Então, escrevendo como soma de frações parciais

  ℒ - 1 { 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) }     = ℒ - 1 { A ( s - 2 ) + B ( s + 1 ) + C ( s + 3 ) }

Para encontrar A, B e C, temos que

2 s + 4 ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) = A ( s + 1 ) ( s + 3 ) + B ( s - 2 ) ( s + 3 ) + C ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s + 3 )

que resulta na igualdade

2 s + 4 = A   ( s 2 + 4 s + 3 ) + B   ( s 2 + s - 6 ) + C   ( s 2 - s - 2 )

Então, igualando os coeficientes de s 2 ,   s   e constantes de ambos os lados, temos que

A + B + C = 0           ( 1 )

4 A + B - C = 2           ( 2 )

3 A - 6 B - 2 C = 4           ( 3 )

precisamos resolver o sistema para todas as constantes! Bora lá!

Passo 3

Temos da primeira equação que

A = - B - C

usando isso na segunda equação, temos que

4 ( - B - C ) + B - C = 2

ou simplesmente

- 3 B - 5 C = 2

Isolando uma das constantes temos que

B = - 1 3 [ 2 + 5 C ]

e, como A = - B - C , temos que

A = 1 3 [ 2 + 5 C ] - C = 2 3 + 2 3 C

Usando a terceira equação, temos então que

3 [ 2 3 + 2 3 C ] - 6 [ - 1 3 ( 2 + 5 C ) ] - 2 C = 4

simplificando, temos que

2 + 2 C + 4 + 10 C - 2 C = 4

Que resulta em C = - 1 5 , e portanto, temos que

A = 2 3 + 2 3 ( - 1 5 ) = 8 / 15

e, finalmente, podemos achar B como

B = - 1 3 [ 2 + 5 ( - 1 5 ) ] = - 1 3

e, a nossa transformada inversa se torna

  ℒ - 1 { 2 s + 4 ( s - 2 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) }     = ℒ - 1 { 8 15 1 ( s - 2 ) - 1 3 1 ( s + 1 ) - 1 5 1 ( s + 3 ) }

Agora podemos começar a identificar os termos! Saca só!

Passo 4

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { 8 15 1 ( s - 2 ) - 1 3 1 ( s + 1 ) - 1 5 1 ( s + 3 ) } = 8 15   ℒ - 1 { 1 ( s - 2 ) } - 1 3 ℒ - 1 { 1 ( s + 1 ) } - 1 5 ℒ - 1 { 1 ( s + 3 ) }

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { e 2 t } =     1 s - 2

ℒ { e - 3 t } =     1 s + 3

ℒ { e - t } =     1 s + 1

e, desta forma, temos finalmente que

8 15   ℒ - 1 { 1 ( s - 2 ) } - 1 3 ℒ - 1 { 1 ( s + 1 ) } - 1 5 ℒ - 1 { 1 ( s + 3 ) } = 8 15 e 2 t - 1 3 e - t - 1 5 e - 3 t

ou resumindo, temos que

f ( t ) = 8 15 e 2 t - 1 3 e - t - 1 5 e - 3 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( t ) = 8 15 e 2 t - 1 3 e - t - 1 5 e - 3 t

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