Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

9. Usando uma tabela, inverta as transformadas dadas abaixo.

f) 2 s + 1 s 3 + 2 s

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada inversa de F s = 2 s + 1 s 3 + 2 s , ou seja, de F s → f t .

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

No enunciado, foi dito que para nos auxiliar, podemos usar a tabela de transformadas.

Então a ideia é reescrever F s de modo a substituir com alguma transformada da tabela e assim obter a função f t .

Entendeu? Bora ver como se faz! 😉

Passo 2

Para obter a transformada inversa, primeiro temos que separar F s em frações parciais.

F s = 2 s + 1 s 3 + 2 s = 2 s + 1 s s 2 + 2

F s = 2 s + 1 s s 2 + 2 = A s + B s + C s 2 + 2

Partindo dessa ideia, vamos obter que A = 1 2 , B = - 1 2 e C = 2

F s = 1 2 · 1 s - 1 2 · s s 2 + 2 + 2 · 1 s 2 + 2

Aplicando as transformadas de F s , temos

L - 1 F s = L - 1 1 2 · 1 s - L - 1 1 2 · s s 2 + 2 + L - 1 2 · 1 s 2 + 2

L - 1 F s = 1 2 · L - 1 1 s - 1 2 · L - 1 s s 2 + 2 + 2 · L - 1 1 s 2 + 2

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Analisando a tabela, vemos que 1 s é muito parecida com a transformada de H t que é a função degrau

L H t = 1 s

Já a fração s s 2 + 2 é idêntica a transformada de cos ⁡ a t

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Nesse caso, a = 2

E por fim, a fração 1 s 2 + 2 é muito parecida com a transformada do s e n a t

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

E aqui, vemos que a = 2

Substituindo essas informações em L - 1 F s , temos

f t = 1 2 · H t - 1 2 · cos ⁡ 2 t + 2 2 · sen ⁡ 2 t

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f t = 1 2 · H t - 1 2 · cos ⁡ 2 t + 2 2 · sen ⁡ 2 t

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