Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(m)   ℒ - 1 { s ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 ) }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { s ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 ) }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Então, escrevendo como soma de frações parciais

  ℒ - 1 { s ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 ) }     = ℒ - 1 { A ( s - 2 ) + B ( s - 3 ) + C ( s - 6 ) }

Para encontrar A, B e C, temos que

s ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 ) = A ( s - 3 ) ( s - 6 ) + B ( s - 2 ) ( s - 6 ) + C ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 )

s = A   ( s 2 - 9 s + 18 ) + B   ( s 2 - 8 s + 12 ) + C   ( s 2 - 5 s + 6 )

Então, resolvemos o sistema

A + B + C = 0 - > C = - A - B

18 A + 12 B + 6 C = 0 - > 18 A + 12 B + 6 ( - A - B ) = 0 - > 12 A + 6 B = 0 - > B = - 2 A

- 9 A - 8 B - 5 C = 1 - >   - 9 A + 16 A - 5 A = 1 - > 2 A = 1

A = 1 2 ;   B = - 1 ;   C = 1 2

Substituindo

ℒ - 1 { A ( s - 2 ) + B ( s - 3 ) + C ( s - 6 ) } = ℒ - 1 { 1 2 1 ( s - 2 ) - 1 ( s - 3 ) + 1 2 1 ( s - 6 ) }

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { 1 2 1 ( s - 2 ) - 1 ( s - 3 ) + 1 2 1 ( s - 6 ) } = 1 2   ℒ - 1 { 1 ( s - 2 ) } - ℒ - 1 { 1 ( s - 3 ) } + 1 2 ℒ - 1 { 1 ( s - 6 ) }

Passo 3

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { e 2 t } =     1 s - 2

ℒ { e 3 t } =     1 s - 3

ℒ { e 6 t } =     1 s - 6

Passo 4

Assim,

1 2 ℒ - 1 { 1 ( s - 2 ) } - ℒ - 1 { 1 ( s - 3 ) } + 1 2 ℒ - 1 { 1 ( s - 6 ) } = 1 2 e 2 t - e 3 t + 1 2 e 6 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ℒ - 1 { s ( s - 2 ) ( s - 3 ) ( s - 6 ) } = 1 2 e 2 t - e 3 t + 1 2 e 6 t

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