Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(o)   ℒ - 1 { 1 s 2 ( s + 4 ) }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { 1 s 2 ( s + 4 ) }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Precisamos escrever nossa fração como uma soma de frações parciais

  ℒ - 1 { 1 s 2 ( s + 4 ) }     = ℒ - 1 { A s + B s 2 + C ( s + 4 ) }

Para encontrar A, B e C, temos que

1 s 2 ( s + 4 ) = A s ( s + 4 ) + B ( s + 4 ) + C s 2 s 2 ( s + 4 )

que resulta na igualdade

1 = A   ( s 2 + 4 s ) + B   ( s + 4 ) + C s 2

Então, igualando os coeficientes de s 2 ,   s   e constantes de ambos os lados, temos que

A + C = 0           ( 1 )

4 A + B = 0           ( 2 )

4 B = 1           ( 3 )

precisamos resolver o sistema para todas as constantes! Bora lá!

Passo 3

Temos da terceira equação que

B = 1 / 4

usando isso na segunda equação, temos que

4 A + 1 4 = 0

portanto, temos que

A = - 1 16

Usando então a primeira equação, temos então que

- 1 16 + C = 0

Que resulta em C = 1 16 , e portanto, temos que

  ℒ - 1 { 1 s 2 ( s + 4 ) }     = ℒ - 1 { - 1 16 1 s + 1 4 1 s 2 + 1 16 1 ( s + 4 ) }

Agora podemos começar a identificar os termos! Saca só!

Passo 4

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { - 1 16 1 s + 1 4 1 s 2 + 1 16 1 ( s + 4 ) } = - 1 16   ℒ - 1 { 1 s } + 1 4 ℒ - 1 { 1 s 2 } + 1 16 ℒ - 1 { 1 ( s + 4 ) }

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { t } =     1 s 2

ℒ { 1 } =     1 s

ℒ { e - 4 t } =     1 s + 4

e, desta forma, temos finalmente que

- 1 16   ℒ - 1 { 1 s } + 1 4 ℒ - 1 { 1 s 2 } + 1 16 ℒ - 1 { 1 ( s + 4 ) } = - 1 16 + 1 4 t + 1 16 e - 4 t

ou resumindo, temos que

f ( t ) = - 1 16 + 1 4 t + 1 16 e - 4 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( t ) = - 1 16 + 1 4 t + 1 16 e - 4 t

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