Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(l)   ℒ - 1 { 0,9 s ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { 0,9 s ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Então, escrevendo como soma de frações parciais

  ℒ - 1 { 0,9 s ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) }     = ℒ - 1 { A ( s - 0,1 ) + B ( s + 0,2 ) }

Para encontrar A e B, temos que

0,9   s ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) = A   ( s + 0,2 ) + B   ( s - 0,1 ) ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) - > 0,9   s = A   ( s + 0,2 ) + B   ( s - 0,1 )

Então, resolvemos o sistema

0,2   A - 0,1   B = 0 - > B = 0,2 0,1 A = 2   A

A + B = 0,9 - > 3   A = 0,9

A = 0,3 ;   B = 0,6

Substituindo

ℒ - 1 { A ( s - 0,1 ) + B ( s + 0,2 ) } = ℒ - 1 { 0,3 1 s - 0,1 + 0,6 1 s + 0,2 }

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { 0,3 1 s - 0,1 + 0,6 1 s + 0,2 } = 0,3 ℒ - 1 { 1 s - 0,1 } + 0,6 ℒ - 1 { 1 s + 0,2 }

Passo 3

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { e 0,1 t } =     1 s - 0,1

ℒ { e - 0,2 t } =     1 s + 0,2

Passo 4

Assim,

0,3 ℒ - 1 { 1 s - 0,1 } + 0,6 ℒ - 1 { 1 s + 0,2 } = 0,3   e 0,1 t + 0,6   e - 0,2 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ℒ - 1 { 0,9 s ( s - 0,1 ) ( s + 0,2 ) } = 0,3 e 0,1 t + 0,6 e - 0,2 t

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