Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2011.1 Santos – 2a

Usar a fórmula L 0 t f τ d τ = F ( s ) / s (cf. tabela) para calcular a inversa da transformada de Laplace de:

G s = 1 s ( s 2 - 1 )

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função G ( s ) de uma forma útil pra gente:

G s = 1 s 1 s 2 - 1 = F s s

com F s = 1 s 2 - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a inversa de F ( s ) usando frações parciais.

Como isso? Simples! Olha que s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 ) , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:

F s = 1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1 = A s + 1 + B s - 1

Para achar as constantes, é bem fácil: só somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original ( 1 ).

F s = A s + 1 + B s - 1 = A s - 1 + B ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) = s A + B + 1 ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Por comparação direta:

A + B = 0 B - A = 1     A =   - 1 / 2 B = 1 / 2  

Portanto,

F s = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1

E sua transformada inversa é

f t = - 1 2 e - t + 1 2 e t

Passo 3

Vamos agora usar a fórmula dada:

L 0 t f τ d τ = F ( s ) / s

Onde f ( τ )   = - 1 2 e - τ + 1 2 e τ e F ( s ) = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1 .

Como G s = F ( s ) / s , a sua inversa é g t = 0 t f τ d τ .

Passo 4

Calculando g ( t ) , temos:

g t = 0 t - 1 2 e - τ + 1 2 e τ d τ

g t = 1 2 e - τ + 1 2 e τ t 0 = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Resposta

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

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