Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Considere o conjunto

V = x , y ∈ R 2 : x > 0   e   y > 0

munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por

x 1 , y 1 ⊕ x 2 , y 2 = x 1 x 2 , y 1 y 2 ,               λ ⊙ x , y = x λ , y λ ,

para todos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x , y ∈ V e todo λ ∈ R . Temos que o conjunto V , munido dessas operações, é um espaço vetorial e que o conjunto

W = x , y ∈ V : y = x 3

é um subespaço de V . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço vetorial W :

  1. 1,1 ;
  2. 8,2 ;
  3. 8,2 , 27,3 ;
  4. 1,1 , 27,3 ;
  5. 1,1 , 8,2 .

Passo 1

Fala aí, pessoal! Como vocês estão? Talvez você tenha terminado de ler esse enunciado e já esteja bem assim:

Mas calma! O enunciado mandou um conjunto V esquisitão aí pra gente, umas operações bem diferentes das que a gente tá acostumado, mas a primeira coisa que a gente precisa lembrar é que um espaço vetorial nada mais do que isso:

  • Algum conjunto (não-vazio);
  • Duas operações: soma e multiplicação por escalar.

A rigor, as duas operações precisam satisfazer algumas regrinhas específicas para se enquadrar na definição de espaço vetorial e os tais “escalares” da multiplicação por escalar podem vir de conjuntos bem doidões também. Mas não precisamos nos preocupar com isso agora! O enunciado já disse que V é um espaço vetorial, então já sabemos que quaisquer regrinhas que precisassem ser cumpridas já são mesmo.

Ok! Mas então, o enunciado definiu pra gente mais um conjunto, W , que com as mesmas operações de V , vai ser um subespaço vetorial e tá pedindo para encontrarmos uma base. É esse o objetivo da nossa questão. Pois bem, para termos uma base precisamos de um conjunto:

  • LI;
  • Qualquer vetor de W deve poder ser escrito como combinação linear dos vetores da base;

São esses os dois requisitos que precisamos cumprir. Há várias formas de tentar encontrar uma base, mas o que a gente precisa lembrar é o seguinte: a base não é única. Existem infinitas bases diferentes! Mas então, como que vamos encontrar a nossa resposta??

Parece uma situação desesperadora, mas não é! A melhor estratégia a adotar nesses casos é ir testando as alternativas uma a uma. Dessa forma, a gente garante que não vamos estar encontrando uma base possível, mas que não tem na múltipla escolha. Beleza? Vamos lá então.

Passo 2

O conjunto W foi definido como:

W = x , y ∈ V : y = x 3

Ou seja, os elementos desse conjunto são da forma:

x ,   x 3

onde a segunda coordenada é a raiz cúbica da primeira coordenada. Podemos então começar eliminando alternativas que tenham vetores que não satisfaçam a esse critério. Como os únicos vetores que aparecem nas alternativas são 1,1 , 8,2 e 27,3 , temos:

  • 1,1 ⇒   1 3 = 1 ⇒ 1,1 ∈ W
  • 8,2 ⇒   8 3 = 2 ⇒ 8,2 ∈ W
  • 27,3 ⇒   27 3 = 3 ⇒ 27,3 ∈ W

Ok! Todos eles passaram no critério, então infelizmente não deu para eliminar nenhuma alternativa por enquanto.

Passo 3

Vamos então passar para avaliar cada uma das alternativas separadamente, ok? O vetor 1,1 sozinho numa base talvez já tenha acendido uma luzinha vermelha na sua cabeça. Afinal, talvez você esteja pensando “Se minha base for { 1,1 ) , qualquer vetor de W tem que ser um múltiplo de 1,1 por algum escalar λ , mas será mesmo que dá?”

Pois é! Não dá mesmo. Porque pela definição de multiplicação por escalar que temos do enunciado:

λ ⊙ 1,1 = 1 λ , 1 λ = 1,1

Isso porque 1 , elevado a qualquer coisa, dá 1 ! Nós já vimos no passo anterior que 8,2 , 27,3 ∈ W , mas não daria para obtermos ele a partir de 1,1 . Ou seja, a letra (a) 1,1 já tá descartada. Não dá para ser uma base.

Passo 4

O passo anterior talvez já tenha te dado outra ideia. Você pode estar pensando “assim como 1 elevado a qualquer coisa dá 1 , eu também sei que qualquer coisa elevado a 0 dá zero. Então será que não daria para obter o 1,1 a partir de qualquer outro vetor de W simplesmente tomando λ = 0 ?” Se você pensou nisso, pensou certo! 😊

Vejamos por exemplo os vetores   8,2 , 27,3 :

  • 0 ⊙ 8,2 = 8 0 , 2 0 = 1,1
  • 0 ⊙ 27,3 = 27 0 , 3 0 = 1,1

Mas então, o que isso que acabamos de descobrir quer dizer?

Se daria para obter o vetor 1,1 a partir do 8,2 ou do 27,3 por multiplicação por escalar, então qualquer conjunto que tenha o 1,1 vai ser LD! E lembra que ser LI é um dos requisitos que precisamos para ter uma base.

Com isso, já eliminamos as alternativas (d) 1,1 , 27,3 e (e) 1,1 , 8,2 .

Passo 5

Beleza, até agora já eliminamos as alternativas (a), (d) e (e), nos sobrando as seguintes possibilidades:

(b) 8,2

(c) 8,2 , 27,3

Já vimos que tanto 8,2 quanto 27,3 pertencem a W , mas no passo anterior também ressaltamos que uma base precisa ser um conjunto LI, ou seja, na letra (c), se for possível escrever 8,2 como um múltiplo de 27 , 3 ou 27,3 como um múltiplo de 8,2 , então o conjunto será LD e a resposta será a letra (b).

Mas e se não for possível? Ou seja, e se concluirmos que 8,2 , 27,3 é LI? Então temos um conjunto de 2 vetores ambos pertencentes a W e LI, logo a resposta vai ser a letra (c)! Já sabemos então como proceder.

A pergunta agora então é: existe algum λ 1 tal que λ 1 ⊙ 8,2 = 27,3 ou algum λ 2 tal que λ 2 ⊙ 27,3 = 8,2 ? Essa pergunta parece complicada, mas como é muitas vezes o caso com expressões que envolvem potências, quem vai nos salvar são os logaritmos hahah.

Vamos tentar o primeiro caso:

λ 1 ⊙ 8,2 = 8 λ 1 , 2 λ 1

Igualando a 27,3 , temos:

8 λ 1 , 2 λ 1 = 27,3

Temos na verdade então duas equações:

8 λ 1 = 27 2 λ 1 = 3

Como 8 = 2 3 e 27 = 3 3 , aplicando log a ambos os lados da primeira equação, obtemos:

2 3 λ 1 = 3 3 ⇒ 3 λ 1 log ⁡ 2 = 3 log ⁡ 3 ⇒ λ 1 = log ⁡ 3 log ⁡ 2

Vamos agora para a segunda equação, aplicando novamente log a ambos os lados:

2 λ 1 = 3

⇒ λ 1 log ⁡ 2 = log ⁡ 3

⇒ λ 1 = log ⁡ 3 log ⁡ 2

Como encontramos uma solução única para o sistema de equações, temos:

λ 1   =   log ⁡ 3 log ⁡ 2

Beleza! Mas o que concluímos a partir disso? Pois bem, concluímos que se tomarmos λ 1 = log ⁡ 3 / log ⁡ 2 e fizermos λ 1 ⊙ ( 8,2 ) , dessa operação vamos obter ( 27,3 ) . Em outras palavras, ( 27,3 ) é um múltiplo de ( 8,2 ) pelo escalar log ⁡ 3 / log ⁡ 2 . Portanto, o conjunto 8,2 , 27,3 não é LI, logo não é uma base.

Com isso, descartamos a alternativa (c), nos sobrando apenas a resposta certa: (b)!

Curtiu? Vamos juntos para uma mais questão então!

Passo 6

Resposta

(b) 8,2 ;

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