Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Seja   A uma matriz n × n . Assinale o conjunto abaixo que nem sempre é um subespaço vetorial:

(a) N ( A )   ∩   I m ( A )

(b) N ( A )

(c) N ( A )   ∪   I m ( A )

(d) I m ( A )

Passo 1

Vamos ver alternativa por alternativa:

(a) N ( A )   ∩   I m ( A )

Aqui temos a intercessão de dois subespaços, que sempre vai ser um subespaço vetorial também!

As letras (b) e (d) são bem fáceis de ver que são sempre subespaços vetoriais!

Sobrou a letra (c), temos nossa resposta, hahaha.

Mas vamos entender porque esse espaço nem sempre é um subespaço vetorial: a união de 2 subespaços vai ser um subespaço se um dos subespaços estiver contido no outro!

Ou seja, N ( A )   ∪   I m ( A ) só é um subespaço vetorial se   N ( A )   ⊂   I m ( A ) ou I m ( A ) ⊂ N ( A )  

Resposta

c

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1