Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam U e V subespaços vetoriais de R n , com U   ≠ R n e   V ≠ R n . Qual opção abaixo não pode acontecer?  

(a)   U   ∪   V = V  

(b) U   ∩   V   =   { 0 → }

(c) U   ∩   V   =   V

(d) U   ∪   V   = R n

Passo 1

Primeiramente vamos deixar bem definido na nossa cabeça que soma é diferente de união!

Quando somamos dois subespaços, pegamos todos os elementos de um deles e somamos com todos os elementos do outro. Assim, a soma U + V poderia resultar o R n .

Mas na união não somamos cada elemento de cada subespaço, apenas juntamos os espaços.

Passo 2

Então por exemplo, se U   for uma reta em R 2 e V também for uma reta em R 2 ,   vamos ter o seguinte como U + V :

A soma dos subespaços nesse caso vai ser o espaço que obtemos juntando a base de U com a base de V, no caso vai ser o próprio R 2 .

Mas a união vai ficar assim:

E duas retas separadas assim, nunca vai ser um subespaço vetorial, muito menos o R 2 .

Assim conseguimos provar que a letra d) é a alternativa impossível de acontecer.

Resposta

d

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1