Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e maior ou igual a 4 e seja A = { u 1 , u 2 , u 3 } um subconjunto de V com três elementos. Considere as seguintes afirmações:

(I) se v ,   w   ϵ   V forem tais que A ∪ v , w gera V , então v e w serão ambos não nulos;

(II) se v ,   w   ϵ   V forem tais que A ∪ v , w gera V , então v e w serão linearmente independentes;

(III) se A for linearmente independente e W for um subespaço de V de dimensão 2 tal que V = u 1 , u 2 , u 3 + W , então u 1 , u 2 , u 3 ∩ W terá dimensão maior ou igual a 1 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações I e II são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações I e II necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação I é necessariamente verdadeira;

d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação III é necessariamente verdadeira;

Passo 1

Fala aí gente boa, beleza? Bora pra cima da questão! Show galerinha, logo no começo, ele afirma uma coisa muuuuito importante pra essa questão. Ele nos entrega de bandeja, a dimensão de V . Ele fala que:

d i m d i m   V   ≥ 4

O que isso quer dizer? Significa que V é um espaço vetorial formato por pelo menos, 4 vetores linearmente independentes. Salva essa informação: eles serem linearmente independentes significa que nenhum vetor é combinação linear do outro. Cada um aponta numa direção diferente e dessa forma conseguem gerar cada um, uma dimensão.

Se álgebra linear não expandir a mente de vocês, eu não sei o que vai. Mas enfim, vamos prosseguir!

Passo 2

Então, vamos avaliar essas afirmações. Começando com a (I):

(I) se v ,   w   ϵ   V forem tais que A ∪ v , w gera V , então v e w serão ambos não nulos;

Deixa eu contar uma coisa legal pra vocês. Nessas questões em que ele afirma coisas pra gente, conseguimos provar que ela é falsa simplesmente dando um exemplo que não se aplica ao que ele fala. Não importa os argumentos que a questão utilize para afirmar algo... se você apresentar uma contra prova, a afirmativa CAI POR TERRA! Então nossa missão aqui vai ser criar uma contra prova pra a afirmação. Então bora lá:

Vamos supor que a d i m d i m   V = 4   . Isso é possível pois a questão afirmou que d i m d i m   V ≥ 4   , certinho? Show. Também vou assumir que o conjunto A seja linearmente independente. Estamos assumindo isso, pois quando fazemos a união A ∪ { v , w } , estamos gerando um espaço vetorial de 4 dimensões. Se A não for L.I, nunca que essa base formada pela união, vai conseguir gerar V , porque dessa forma, A só representaria de fato 1 dimensão, e quando unirmos com { v , w } , teríamos só 3 dimensões (e dessa forma NUNCA NUNQUINHA DE FORMA ALGUMA E JAMAIS que essa base formada pela união geraria V ).

E olha que coisa legal: como estamos unindo um conjunto com três vetores ( A = { u 1 , u 2 , u 3 } ) com um conjunto com dois vetores ( { v , w } ), temos uma base com cinco vetores ( A ∪ { v , w } ,). Ou seja,

d i m d i m   A ∪ { v , w } = 5  

Passo 3

Mas pera aí, como uma base com dimensão = 5 , gera um espaço vetorial com dimensão = 4 ?

Só tem uma saída: Algum desses vetores é combinação linear dos demais. Mas, no passo passado provamos que A só poderia ser L . I , ou seja, isso implica que { v , w } é linearmente dependente, ou L . D . Ou seja, um dos vetores é combinação linear dos demais. Isso algebricamente se traduz em:

v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 + α 4 ⋅ w

Ou,

w = β 1 u 1 + β 2 u 2 + β 3 u 3 + β 4 ⋅ v

De qualquer forma, com uma escolha de coeficientes, pode-se anular v ou w , sem anular o outro. Ou seja, zeramos um, sem zerar o outro. Isso implica em um dos dois casos:

Se v = 0 ;

A ∪ v , w = u 1 , u 2 , u 3 , 0 , w

Ou, se w = 0 ;

A ∪ v , w = u 1 , u 2 , u 3 , v , 0

E olha que daora: nos dois casos, se A ∪ { v , w } , os vetores não nulos formam uma base, e, portanto, geram V. E ainda assim fazendo o que a questão afirmou, fizemos isso com pelo menos um vetor nulo. Ou seja, é errado afirmar o que esse item disse pra gente:

se v ,   w   ϵ   V forem tais que A ∪ v , w gera V , então v e w serão ambos não nulos;

Já que acabamos de fazer uma contra prova, gerando V , com uma união de A com { v , w } , e com v ou w nulos. Logo, esse item é FALSO!

Passo 4

Belezura minha rapaziada, bora continuar. A afirmação II nos diz que:

(II) se v ,   w   ϵ   V forem tais que A ∪ v , w gera V , então v e w serão linearmente independentes;

Mas pera aí...

A gente acabou de provar justamente o contrário disso no passo passado. Os vetores v e w tem que ser necessariamente, linearmente DEPENDENTES, se quisermos que a união A ∪ { v , w } gere V . Portanto, a afirmação II é falsa.

Passo 5

Agora é terminar com essa afirmação III e acabar a questão

(III) se A for linearmente independente e W for um subespaço de V de dimensão 2 tal que V = u 1 , u 2 , u 3 + W , então u 1 , u 2 , u 3 ∩ W terá dimensão maior ou igual a 1 .

Oxente, entendi foi nada. Vamos primeiro dar nome aos bois aqui né? Ele nos disse que:

V = u 1 , u 2 , u 3 + W

Isso é o mesmo que:

V = u 1 , u 2 , u 3 ∪ W

E olha que bacana, sabe como a gente calcula o numero de dimensões dentro de espaço vetoriais? Relaxa que eu te ensino. A dimensão, pode ser calculada como:

d i m d i m   V   = d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3   + d i m d i m   W   - d i m d i m   ( u 1 , u 2 , u 3 ∩ W )  

Olha quem apareceu aí rapaz... o d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   . E a afirmativa nos disse que essa dimensão da intersecção entre os dois subespaços terá dimensão maior ou igual a 1. Será mesmo? Bora testar!

Passo 6

A questão nos deu os valores de algumas dimensões aí. Primeiro, ele nos deu indiretamente a dimensão de V . Primeiro a gente já sabe que a d i m d i m   V   ≥ 4 . Também sabemos que a dimensão de V assume valor 5 , porque é a união de um conjunto L.I de três elementos, logo com três dimensões, junto com um conjunto   W que a questão assume que possui valor 2 . Logo:

d i m d i m   V   = d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3   + d i m d i m   W   - d i m d i m   ( u 1 , u 2 , u 3 ∩ W )  

d i m d i m   V   = 3 + 2 - d i m d i m   ( u 1 , u 2 , u 3 ∩ W )  

Como a dimensão de V tem que ser maior ou igual a 4:

3 + 2 - d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   ≥ 4

5 - d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   ≥ 4

- d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   ≥ - 1

Ou seja,

d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   ≤ 1

Que é justamente o contrário do que a afirmação nos fala, dizendo que d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   é maior ou igual a um, por que na verdade, d i m d i m   u 1 , u 2 , u 3 ∩ W   é menor ou igual a um. Portanto, afirmativa falsa! Isso acarreta que todas as 3 afirmativas são falsas e, portanto, a resposta é o item d ) .

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

item d ) .

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