Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam { v 1 → ,   v 2 → , v 3 → , v 4 → } uma base de R 4 e w → ∈ R 4 um vetor não nulo. Considere as afirmações abaixo:

(I) Se w → pertence aos planos v 1 → ,   v 2 → e v 1 → ,   v 3 → , então w → pertence à reta v 1 →

(II) Os subespaços w → ,   v 1 → ,   v 2 → e w → ,   v 3 → ,   v 4 → se interceptam em apenas um ponto.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

I. A interseção entre os planos v 1 → ,   v 2 → e v 1 → ,   v 3 → são os elementos que pertencem aos dois caras ao mesmo tempo.

Tá vendo que o v 1 → tá nesses dois espaços gerados?

Então podemos dizer que a interseção entre eles é v 1 → !

E o espaço gerado por um vetor é uma reta.

Logo, se w → pertence aos planos v 1 → ,   v 2 → e v 1 → ,   v 3 → , ele pertence à interseção deles, que é a reta v 1 → .

A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

II. De novo, vamos usar aqui a ideia de interseção.

Os caras que pertencem a w → ,   v 1 → ,   v 2 → e w → ,   v 3 → ,   v 4 → são os que estão nos dois espaços ao mesmo tempo, então vai ser o w → , mais precisamente todo o espaço gerado por esse vetor, ou seja w → .

E o espaço gerado por um vetor não é um ponto, como diz na afirmação (II), mas sim uma reta.

Então ela é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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