Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Considere os subespaços de R 4 definidos por:

S 1 = 1 , - 1,1 , 1 ,   2,2 , - 1,1               e               S 2 = [ 0,1 , 3,0 ,   ( - 3 ,   0 ,   3 ,   - 2 ) ]

Se x , y , z ∈ R forem tais que ( 3 , x , y , z ) pertence à interseção S 1 ∩ S 2 , então x + y + z será igual a:

Escolha uma opção:

  1. 0
  2. 3
  3. 2
  4. 4
  5. 1

Passo 1

Faaaala, pessoal. Como 3 , x , y , z ∈ S 1 ∩ S 2 , podemos escrevê-lo tanto como combinação dos vetores geradores de S 1 como daqueles de S 2 . Isto é, existem a , b , c , d ∈ R , tais que:

3 , x , y , z ( 1 ) =   a 1 , - 1,1 , 1 + b   2,2 , - 1,1 ( 2 ) =   c 0,1 , 3,0 + d   ( - 3 ,   0 ,   3 ,   - 2 )

Tomando as coordenadas uma a uma na primeira igualdade, temos:  

3 = a + 2 b x = - a + 2 b y = a - b z = a + b ⇒ x + 3 = 4 b 3 - x = 2 a   b = - y + z 2 a = y + z 2 ⇒ a = y + z 2 = 3 - x 2 b = - y + z 2 = x + 3 4 ⇒ x + y + z = 3 x + 2 y - 2 z = - 3       ( 1 )

Como não há alternativa que possibilite a interseção ser vazia, supomos que esta não seja de forma que não é preciso resolver a equação ( 2 ) para determinar:

x + y + z = 3

Resposta

b. 3

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1