Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Considere os subespaços S 1 e S 2 de P 3 ( R ) definidos por:

S 1 = p   ϵ   P 3 R : p 1 + p - 1 = 0

S 2 = p   ϵ   P 3 R : p ' 1 + p ' - 1 = 0

Temos que a dimensão de S 1 ∩ S 2 é igual a:

a) 4

b) 0

c) 2

d) 3

e) 1

Passo 1

Fala aí gente boa, beleza? Bora pra cima da questão! O problema nos entrega dois subespaços S 1 e S 2 . Esses são subespaços de P 3 ( R ) . Você sabe o que quer dizer isso? Significa que: S 1 e S 2

São subespaços do espaço vetorial que contém todos os polinômios de grau menor ou igual a 3.

E então ela nos pede a dimensão de S 1 ∩ S 2 . Isso significa que temos que descobrir em quantas dimensões, os vetores da intersecção de S 1 com S 2 são definidos. Se essa última frase não ficou tão clara, calma que lá no passo 5 você vai entender perfeitamente, então salva essa informação

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quem é S 1 ∩ S 2 . Como essa intersecção é um subespaço de P 3 ( R ) , então essa intersecção obrigatoriamente é também um polinômio de grau menor ou igual a 3. Portanto, a gente pode escrever S 1 ∩ S 2 como:

P t   ϵ   S 1 ∩ S 2 :

P t = a t 3 + b t 2 + c t + d

Como esse polinômio é uma intersecção de S 1 com S 2 , então ele precisa atender às duas condições impostas por S 1 e S 2 simultaneamente. Sabendo disso, vamos então adequar esse P ( t ) para os moldes de S 1 , e depois adequar aos moldes de S 2 . Dessa forma, nós garantimos que esse polinômio pertença as duas ao mesmo tempo, ou seja, pertença a intersecção de S 1 com S 2 .

Passo 3

Beleza, bora lá. Como é definido o subespaço de S 1 ? A questão nos entrega que:

S 1 = p   ϵ   P 3 R : p 1 + p - 1 = 0

Então, significa que para o polinômio existir em S 1 , precisamos que a soma do: polinômio para t = 1 com o polinômio para t = - 1 seja 0. Então, vamos entender quem é o polinômio para t = 1 . Se P ( t ) tem esse formato:

P t = a t 3 + b t 2 + c t + d

Logo, P ( 1 ) vai ser:

P 1 = a ⋅ 1 3 + b ⋅ 1 2 + c ⋅ 1 + d

P 1 = a + b + c + d

Show. Analogamente, P ( - 1 ) vai assumir:

P - 1 = P 1 = a ⋅ - 1 3 + b ⋅ - 1 2 + c ⋅ ( - 1 ) + d

P - 1 = - a + b - c + d

Agora aplicaremos a condição p 1 + p - 1 = 0 e veremos qual a condição para que esse polinômio exista em S 1 :

p 1 + p - 1 = 0

a + b + c + d + - a + b - c + d = 0

Ou seja:

b + d = 0

b = - d

Boa, essa é condição para que o polinômio possa existir tranquilamente em S 1 . Bora caçar a condição do S 2 agora 😊

Passo 4

Aqui em S 2 a brincadeira muda um pouquinho só. Temos que S 2 tem essa condição:

S 2 = p   ϵ   P 3 R : p ' 1 + p ' - 1 = 0

Em vez de simplesmente aplicar valores ao polinômio genérico P ( t ) , ele vai aplicar valores ao polinômio que é a derivada do polinômio genérico P ( t ) . Ou seja:

P ' ( t )

Mas quem é P ' ( t ) ? Também não sei. Mas vamos descobrir juntos hahahaha. Temos que o polinômio P ( t ) é:

P t = a t 3 + b t 2 + c t + d

Derivando-o em relação a t :

P ' t = 3 ⋅ a ⋅ t 2 + 2 ⋅ b ⋅ t + c

Belezinha, encontramos o P ' ( t ) . Agora, semelhantemente ao que fizemos no passo anterior, vamos aplicar os valores que a questão disse que era a condição de existência desse polinômio em S 2 , ou seja:

p ' 1 + p ' - 1 = 0

Se,

P ' t = 3 ⋅ a ⋅ t 2 + 2 ⋅ b ⋅ t + c

Logo:

p ' 1 = 3 ⋅ a ⋅ 1 2 + 2 ⋅ b ⋅ 1 + c

p ' 1 = 3 a + 2 b + c

Agora achando o p ' ( - 1 ) :

Se,

P ' t = 3 ⋅ a ⋅ t 2 + 2 ⋅ b ⋅ t + c

Logo:

p ' - 1 = 3 ⋅ a ⋅ ( - 1 ) 2 + 2 ⋅ b ⋅ ( - 1 ) + c

p ' - 1 = + 3 a - 2 b + c

Somando p ' ( - 1 ) com p ' ( 1 ) , e igualando a 0 (que é aplicar a condição que S 2 impôs pra gente):

S 2 = p   ϵ   P 3 R : p ' 1 + p ' - 1 = 0

p ' 1 + p ' - 1 = 0

( 3 a + 2 b + c ) + ( + 3 a - 2 b + c ) = 0

Ou seja,

3 a + c = 0

c = - 3 a

Essa é a condição que define a existência do polinômio em S 2 . Como precisamos dessas duas condições juntas. No próximo passo, vamos juntar essas duas condições simultaneamente, e assim encontrar S 1 ∩ S 2 .

Passo 5

Show, agora que já sabemos as condições para o polinômio existir:

b = - d

c = - 3 a

Podemos aplicar ele no nosso polinômio genérico P ( t ) . Ao aplicarmos essas condições, estaremos encontrando a nova “cara” de P ( t ) . Essa nova cara é justamente a representação dos polinômios dentro de S 1 ∩ S 2 . Se,

P t = a t 3 + b t 2 + c t + d

Aplicando as condições, temos:

P t = a t 3 + b t 2 + ( - 3 a ) t + ( - b )

P s 1 ∩ s 2 t = a t 3 + b t 2 - 3 a t - b

Reorganizando isso, deixando a e b em evidência:

P s 1 ∩ s 2 t = a t 3 - 3 t + b ( t 2 - 1 )

Belezinha, achamos o P s 1 ∩ s 2 ( t ) , que é o polinômio que tá na intersecção de S 1 ∩ S 2 . E como sabemos o numero de dimensões desse polinômio? Agora que aquela parte que eu citei de dimensões dos vetores vão fazer sentido pra gente. Presta atenção no polinômio:

P s 1 ∩ s 2 t = a t 3 - 3 t + b ( t 2 - 1 )

E quem são os vetores nesse polinômio? São justamente os elementos ( t 3 - 3 t ) e ( t 2 - 1 ) . Eles são definidos por duas constantes. Elas que vão definir as direções do vetor. Ou seja: se o vetor do polinômio P s 1 ∩ s 2 é definido por dois fatores (que são as duas contantes a   e   b ), significa que ele tem duas dimensões. Portanto, a alternativa correta é o item c ) .

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

item c ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1