Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Considere os conjuntos abaixo:

W = x , y , z ∈ R 3 2 x + z = 0 }

H = x , y , z , w ∈ R 4 z = 0   e   w = 0 } E que:

W = s p a n { 1,0 , - 2 , 0,1 , 0 }

H = s p a n { 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 }

  1. dim ⁡ H ∩ W = 1 pois só possuem um vetor em comum.
  2. H = R 2 , já que é gerado por 2 vetores L I

a   Ambas as afirmativas são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   II é verdadeira e I é falsa

d   Ambas são falsas

Passo 1

Bom, a afirmativa II é falsa, pois não basta que 2 vetores sejam L I apenas, eles precisam pertencer ao R 2 também. Ser gerado pelos vetores 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 não os fazem igual ao R 2 , mesmo que seja o plano x y .

Passo 2

Já na afirmativa I, sabemos que H é um subconjunto do R 4 enquanto W é do R 3 , e assim é impossível fazer qualquer conta envolvendo os dois.

Logo a resposta certa é a letra d

Resposta

Letra d

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1