Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Em R 4 , sejam W o subespaço gerado por v 1 = 0 , 1,2 , 2 e v 2 = 2,1 , 0,0 , e U o subespaço gerado por u 1 = 1,3 , 3,1 e u 2 = - 3 , - 1 , - 1 , - 3 .

a Encontre uma base para W 1 + W 2 .

b Verifique que a união W 1 ∪ W 2 não é um subespaço vetorial de R 4 .

Passo 1

a W = G e r v 1 , v 2 e U = G e r u 1 , u 2 , sabemos que W + U = G e r [ v 1 , v 2 , u 1 , u 2 ] . Temos um conjunto gerador, para acharmos uma base basta escalonarmos esse conjunto gerador:

← u 1 → ← v 1 → ← v 2 → ← u 2 → = 1 3 3 1 0 1 2 2 2 1 0 0 - 3 - 1 - 1 - 3 → L 3 ← L 3 - 2 L 1 L 4 ← L 4 + 3 L 1 1 3 3 1 0 1 2 2 0 - 5 - 6 - 2 0 8 8 0 → L 3 ← L 3 + 5 L 2 L 4 ← L 4 - 8 L 2 1 3 3 1 0 1 2 2 0 0 4 8 0 0 - 8 - 16 → L 4 ← L 4 + 2 L 3 1 3 3 1 0 1 2 2 0 0 4 8 0 0 0 0

Então uma base possível para W 1 + W 2 é:

β W 1 + W 2 = 1,3 , 3,1 , 0,1 , 2,2 , 0,0 , 1,2

Passo 2

b Para que a união de 2 subespaços seja um subespaço, precisamos que um subespaço contenha o outro. Ou seja, precisamos que W 1 ⊂ W 2 ou W 2 ⊂ W 1 . Como W 1 e W 2 são planos no R 4 , a única forma de um conter o outro seria se fossem o mesmo plano, o que claramente não é verdade já que a soma deles tem dimensão 3 .

Resposta

a β W 1 + W 2 = 1,3 , 3,1 , 0,1 , 2,2 , 0,0 , 1,2

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1