Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Em R 5 , sejam W 1 o subespaço gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,1 , 0,0 , v 2 = 0,0 , 1 , - 1,1 , v 3 = 1,1 , 0,0 , 1 , e W 2 o subespaço dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo:

- x 1 + x 2 + x 3         = 0     x 2     - x 4 + x 5 = 0

a Encontre um sistema linear homogêneo nas variáveis x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 que tenha W 1 como conjunto solução. Justifique.

b Encontre uma base para a interseção W 1 ∩ W 2 .

Passo 1

a Pela posição dos zeros dá pra ver que os geradores de W 1 que ele deu pra gente são L I e, portanto, uma base. Se não tiver confiante pode escalonar eles pra ter certeza! Com isso, W 1 tem dimensão 3 .

Queremos um sistema linear homogêneo nas variáveis x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 que tenha W 1 como conjunto solução. Pra começo de conversa quantas equações queremos? Precisamos de 2 equações concorda? Assim teremos 5 variáveis e 2 equações, o que nos deixa com 3 variáveis livres, e portanto um conjunto solução de dimensão 3 !

Qualquer vetor v de W 1 pode ser escrito como:

v = a 1 , - 1,1 , 0,0 + b 0,0 , 1 , - 1,1 + c 1,1 , 0,0 , 1

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 = a + c , - a + c , a + b , - b , b + c

x 1 = a + c x 2 = - a + c x 3 = a + b x 4 = - b x 5 = b + c           I I I I I I I V V

Fazendo I I I + I V :

x 3 + x 4 = a       V I

Fazendo I V + V :

x 4 + x 5 = c       V I I

Fazendo I + I I :

x 1 + x 2 = 2 c       V I I I

Fazendo I - I I :

x 1 - x 2 = 2 a       I X

Calma que tá acabando haha. Agora fazemos 2 V I - I X :

- x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 0

E por último, V I I I - V I I :

x 1 + x 2 - 2 x 4 - 2 x 5 = 0

E pronto, achamos nosso sistema:

- x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 0 x 1 + x 2 - 2 x 4 - 2 x 5 = 0

Podemos somar as duas equações pra simplificar um pouco as coisas:

- x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + x 1 + x 2 - 2 x 4 - 2 x 5 = 0

2 x 2 + 2 x 3 - 2 x 5 = 0

x 2 + x 3 - x 5 = 0

Aí ficamos com o sistema:

- x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4     = 0     x 2 + x 3     - x 5 = 0

Passo 2

b A interseção W 1 ∩ W 2 será o conjunto solução do sistema que se obtêm ao juntar as equações que definem W 1 com as equações que definem W 2 ! Entao:

- x 1 + x 2 + x 3         = 0     x 2     - x 4 + x 5 = 0 - x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4     = 0     x 2 + x 3     - x 5 = 0

A matriz aumentada que representa esse sistema é:

- 1 1 1 0 0 0 1 0 - 1 1 - 1 1 2 2 0 0 1 1 0 - 1 0 0 0 0 → L 3 ← L 3 - L 1 - 1 1 1 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 - 1 0 0 0 0 → L 4 ← L 4 - L 2 - 1 1 1 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 - 2 0 0 0 0 → L 4 ← L 4 - L 3 - 1 1 1 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 - 1 - 2 0 0 0 0

Voltando pra forma de sistema:

- x 1 + x 2 + x 3         = 0     x 2     - x 4 + x 5 = 0       + x 3 + 2 x 4     = 0             - x 4 - 2 x 5 = 0           I I I I I I I V

De I V :

x 4 = - 2 x 5

De I I I :

x 3 + 2 x 4 = 0

x 3 - 4 x 5 = 0

x 3 = 4 x 5

De I I :

x 2 - x 4 + x 5 = 0

x 2 + 2 x 5 + x 5 = 0

x 2 = - 3 x 5

De I :

- x 1 + x 2 + x 3 = 0

- x 1 - 3 x 5 + 4 x 5 = 0

x 1 = x 5

Temos então que:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 = x 5 , - 3 x 5 , 4 x 5 , - 2 x 5 , x 5 = x 5 1 , - 3,4 , - 2,1

Então uma base para a interseção é:

β W 1 ∩ W 2 = 1 , - 3,4 , - 2,1

Resposta

a - x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4     = 0     x 2 + x 3     - x 5 = 0

b β W 1 ∩ W 2 = 1 , - 3,4 , - 2,1

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