Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Considere V e W planos distintos contendo a origem em R 3 . Determine V + W :

Passo 1

Primeiro, podemos escrever uma base para V e W :

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 3 , v 4 〉

Onde v 1 , v 2 ∈ V e v 3 , v 4 ∈ W .

Passo 2

Ta, e agora? Bom, que tal tentarmos visualizar o que está acontecendo? Toma uma imagem pra ajudar:

Bom, temos dois planos V e W distintos do R 3 , e ambos esses planos contém a origem.

A primeira e mais importante coisa que temos que notar é que, quaisquer dois planos distintos no R 3 que contenham a origem terão sempre uma reta como interseção!

Isso, por sua vez, quer dizer que suas bases poderão ter um vetor em comum, que seria qualquer vetor sobre essa reta!

Sendo assim, podemos dizer que:

v 1 = v 4

Com isso, os planos podem ser escritos como:

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 1 , v 3 〉

Onde v 1 é um vetor da reta na qual os planos se interceptam. Por sua vez, v 2 é algum outro vetor de V e v 3 é algum outro vetor de W .

Passo 3

Agora que temos uma base para cada um dos planos, podemos encontrar uma base para V + W :

V + W = 〈 v 1 , v 2 , v 1 , v 3 〉

Perceba que v 2 e v 3 são L I entre si (caso contrário, V e W seriam o mesmo plano) e são L I com relação a v 1 (caso contrário, V e W seriam uma reta).

Sendo assim, o único elemento L D no conjunto gerador acima é o v 1 que aparece duas vezes. Portanto, uma base para V + W seria:

v 1 , v 2 , v 3

Passo 4

Lembrando que a base contém vetores do R 3 , como ela tem 3 elementos, chegamos a conclusão de que:

V + W = R 3

Resposta

V + W = R 3

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1