Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Os núcleos das matrizes

são dois planos de R 4 . A interseção destes planos é:

(a) o conjunto vazio.

(b) um ponto.

(c) uma reta.

(d) um plano.

Passo 1

O núcleo de uma matriz é a solução do sistema homogêneo, certo?

Então vamos escrever as equações que usaríamos para achar o núcleo delas.

Para a matriz A:

x + y + z + w = 0 y + 2 z + w = 0

E pra B:

2 x + 2 y + 2 z + 3 w = 0 - y - z = 0

Passo 2

A interseção entre os núcleos são os caras que estão nos dois núcleos ao mesmo tempo.

Pra acha-la, é só fazer o sistema linear com todas as equações dos dois núcleos, ou seja:

x + y + z + w = 0 y + 2 z + w = 0 2 x + 2 y + 2 z + 3 w = 0 - y - z = 0

Montando a matriz aumentada:

Agora vamos escalonar essa matriz pra achar a solução desse sistema!

Passo 3

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 4 ↔ L 3

L 3 ← L 3 + L 2

Se a gente continuar e resolver esse sistema, vamos encontrar uma solução única.

Uma solução única x , y , z , w é um ponto de R 4 .

Logo, essa é a nossa resposta!

Resposta

(b) um ponto.

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1