Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Sejam U , W subespaços do espaço vetorial V . Então, a união U ∪ W é um subespaço de V se e somente se U ⊆ W .

I I Sejam W subespaço de V e u ∈ V . Então, o conjunto formado pelos vetores da forma w + a u , com w ∈ W e a ∈ R , é um subespaço de V .

( a ) Ambas são verdadeiras.

( b ) Ambas são falsas.

( c ) I I é verdadeira e I é falsa.

( d ) I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Lembra de quando eu falei que a união de subespaços só seria um subespaço vetorial se um subespaço contivesse o outro ou o outro contivesse o um? Então essa afirmativa ta quase certa. O único problema ta ali no “se e somente se”. De fato, U ∪ W é um subespaço de V se U ⊆ W , mas também é se W ⊂ U ! Então essa é falsa por causa daquele somente.

Passo 2

Agora a I I

Verdadeira! O que nós estamos fazendo é somar subespaços vetoriais! Repare que a u é uma reta que passa na origem, já que são todos os múltiplos de u . Já w está representando qualquer vetor de W ! Ou seja, estamos somando o subespaço W com outro subespaço formado pelo vetor u , o que também será um subespaço de V .

Resposta

Letra ( c )

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1