Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Considere os seguintes subespaços U e W do espaço vetorial R 5 :

U = 1 , - 1,1 , 0,0 , 1,1 , - 2,1 , 0

W = x , y , z , t , s ∈ R 5     x - y = 0 , x + 2 y - t = 0 , z - s = 0 }

(a) Determine uma base para o subespaço W.

(b) Determine a dimensão: dim ⁡ U ∩ W . Diga se U+W é soma direta.

(c) O vetor v = ( 1 , - 1,5 , 2,2 ) pertence a U+W?

Passo 1

(a) Foi dado que:

W = x , y , z , t , s ∈ R 5     x - y = 0 , x + 2 y - t = 0 , z - s = 0 }

Então, os vetores de W satisfazem:

x - y = 0 x + 2 y - t = 0 z - s = 0

Da primeira equação, tiramos que:

x = y

Substituindo na segunda equação, vemos que:

t = x + 2 y ⇒ t = 3 y

Da última equação:

z = s

Reescrevendo os vetores de W usando essas relações, ficamos com:

x , y , z , t , s = y , y , s , 3 y , s

Vamos separar esses vetores em dois, um que só contém os termos com y e outro que só contém termos em s.

Vamos ter:

x , y , z , t , s = y , y , 0,3 y , 0 + 0,0 , s , 0 , s

Note que não alteramos nada, pois somando esses dois vetores voltamos ao que tínhamos antes!!

Colocando as variáveis pra fora dos vetores:

x , y , z , t , s = y 1,1 , 0,3 , 0 + s 0,0 , 1,0 , 1

Como os vetores estão sendo escrito como combinações de 1,1 , 0,3 , 0 e 0,0 , 1,0 , 1 , uma base para os vetores de W é:

( 1,1 , 0,3 , 0 , ( 0,0 , 1,0 , 1 ) }

Passo 2

(b) Os vetores de U ∩ W são vetores que pertencem a U e a W ao mesmo tempo, ou seja:

v ∈ W ⇒ v ∈ U   e   v ∈ W

Então esses vetores podem ser escritos como combinação linear de vetores de U e W.

Usando a base para W encontrada no item anterior, podemos escrever:

v = a 1 , - 1,1 , 0,0 + b 1,1 , - 2,1 , 0 = c 1,1 , 0,3 , 0 + d ( 0,0 , 1,0 , 1 )

a , - a , a , 0,0 + b , b , - 2 b , b , 0 = c , c , 0,3 c , 0 + ( 0,0 , d , 0 , d )

a + b , - a + b , a - 2 b , b , 0 = ( c , c , d , 3 c , d )

Isso dá o sistema linear:

a + b = c - a + b = c a - 2 b = d b = 3 c d = 0

Somando as duas primeiras equações, vamos ter:

2 b = 2 c ⇒ b = c

Como na quarta equação temos:

b = 3 c

A única forma de essas duas relações serem satisfeitas ao mesmo tempo é se:

b = c = 0

Substituindo na terceira equação, temos:

a = 0

Então, o único vetor que pertence aos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor nulo:

v = 0,0 , 0,0 , 0

Logo:

U ∩ W = { ( 0,0 , 0,0 , 0 ) }

E a dimensão desse conjunto é 0.

Portanto, a soma U+W é direta.

Passo 3

(c) O espaço V = U + W é composto por todos os vetores v que são combinações lineares de elementos dos dois subespaços.

Então, vamos ver se conseguimos escrever o vetor v = ( 1 , - 1,5 , 2,2 ) como combinação linear de vetores de U e W.

Mais uma vez usando a base obtida para W no item (a), queremos obter valores de a, b, c e d tais que:

v = a 1 , - 1,1 , 0,0 + b 1,1 , - 2,1 , 0 + c 1,1 , 0,3 , 0 + d 0,0 , 1,0 , 1

1 , - 1,5 , 2,2 = a , - a , a , 0,0 + b , b , - 2 b , b , 0 + c , c , 0,3 c , 0 + 0,0 , d , 0 , d

1 , - 1,5 , 2,2 = a + b + c , - a + b + c , a - 2 b + d , b + 3 c , d

Ficamos então com:

a + b + c = 1 - a + b + c = - 1 a - 2 b + d = 5 b + 3 c = 2 d = 2

Somando as duas primeiras equações:

2 b + 2 c = 0 ⇒ b = - c

Substituindo na quarta equação:

b + 3 - b = 2 ⇒ - b = 2 ⇒ b = - 1

Pela relação anterior:

c = 1

Substituindo os valores de b e c na primeira equação:

a - 1 + 1 = 1 ⇒ a = 1

Por último, pela última equação, temos:

d = 2

Então, como conseguimos escrever v = ( 1 , - 1,5 , 2,2 ) como CL dos vetores de U e W, esse vetor pertence a U+W.

Resposta

(a) ( 1,1 , 0,3 , 0 , ( 0,0 , 1,0 , 1 ) }

(b) dim ⁡ U ∩ W = 0 e a soma é direta.

(c) Sim, v pertence a U+W.

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