Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Dizemos que o subespaço W 1 + W 2 é uma soma direta de W 1 e W 2 se W 1 ∩ W 2 = { 0 } .

Sabendo disto, considere os seguintes subespaços W 1 e W 2 do espaço vetorial R 4 .

W 1 = a + b , b - a , a + b , 2 a + b     a ,   b   ∈   R }

W 2 = x , y , z , w ∈   R 4     y + z = 0   e   x - w + z = 0 }

O subespaço W 1 + W 2 é uma soma direta?

Calcule a dimensão de W 1 + W 2 .

Passo 1

Vamos começar achando uma base para cada um dos subespaços dados.

Os vetores de R 4 que pertencem a W 1 são do tipo:

x , y , z , w = a + b , b - a , a + b , 2 a + b = a , - a , a , 2 a + b , b , b , b

x , y , z , w = a 1 , - 1,1 , 2 + b 1,1 , 1,1

Como a e b são números reais e os vetores (1,-1,1,2) e (1,1,1,1) são linearmente independentes (um não é múltiplo do outro), temos que todos os vetores de W 1 são combinações lineares desses dois vetores.

Então eles formam uma base para W 1 .

Temos então a base:

1 , - 1,1 , 2 , 1,1 , 1,1

E:

dim ⁡ W 1 = 2

Pois a base de W 1   só tem dois vetores.

Vamos fazer a mesma coisa pra W 2 .

Pelas restrições dadas no enunciado:

y + z = 0   ∴ y = - z

x - w + z = 0 ∴ w = x + z

Então os vetores desse subespaço são do tipo:

x , y , z , w = x , - z , z , x + z = x , 0,0 , x + 0 , - z , z , z = x 1,0 , 0,1 + z 0 , - 1,1 , 1

De novo, os vetores são combinações lineares de (1,0,0,1) e (0,-1,1,1), que são LI, logo esses dois vetores formam base para W 2 .

Temos a base:

1,0 , 0,1 , 0 , - 1,1 , 1

E:

dim ⁡ W 2 = 2

Passo 2

Precisamos verificar se W 1 + W 2 é soma direta, então temos que ver a interseção dos subespaços.

Vamos então pegar um vetorzinho v que pertence a essa interseção.

Isso significa que v pertence a W 1 e a W 2 ao mesmo tempo, ou seja, v é ao mesmo tempo combinação linear dos vetores da base de W 1 e dos vetores da base de W 2 .

Escrevendo isso:

v = α 1 , - 1,1 , 2 + β 1,1 , 1,1 = γ 1,0 , 0,1 + δ 0 , - 1,1 , 1

Agora vamos achar os valores de α ,   β ,   γ   e   δ que satisfazem essa relação.

α + β , - α + β , α + β , 2 α + β = γ , - δ , δ , γ + δ

α + β = γ - α + β = - δ α + β = δ 2 α + β = γ + δ

Pela primeira e terceira equação:

γ = δ

Assim o sistema fica

α + β = γ

- α + β = - γ

2 α + β = 2 γ

Agora vamos somar a primeira com a segunda equação

2 β = 0 → β = 0

Aí jogando na primeira equação

α + β = γ → α = γ

Assim finalmente chegamos em

α = γ = δ

E

β = 0

Passo 3

E agora?

Bom, podemos escrever:

v = α 1 , - 1,1 , 2

E lembra que esse vetor é cara da interseção?

Então acontece que a interseção não é vazia!

W 1 ∩ W 2 = s p a n 1 , - 1,1 , 2

E a soma não é direta!

Passo 4

Pra determinar a dimensão de W 1 + W 2 , vamos usar a fórmula:

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2

Vimos lá no Passo 1 que:

dim ⁡ W 1 = 2

dim ⁡ W 2 = 2

E, pelo resultado do Passo 3, temos:

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = 1

Substituindo esses valores na fórmula:

dim ⁡ W 1 + W 2 = 2 + 2 - 1 = 3

Resposta

W 1 + W 2 não é soma direta.

Dim( W 1 + W 2 ) = 3

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