Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam V um espaço vetorial de dimensão 3 e B = { e 1 , e 2 , e 3 } uma base de V . Considere as seguintes afirmações:

  1. Para todo v ∈ V , o conjunto v + e 1 , v + e 2 , v + e 3 é linearmente independente;
  2. O conjunto e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 2 + e 3 é linearmente independente;
  3. O conjunto e 1 , e 1 + e 2 , e 1 + e 2 + e 3 é linearmente independente.

Assinale a alternativa correta:

  1. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
  2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
  3. apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
  4. apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
  5. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Fala aí, gente! Tudo bem?

Aqui nessa questão todas as nossas alternativas falam de “linearmente independente”, o famoso LI. Vamos relembrar rapidinho o que faz com que eu conjunto de vetores seja LI?

Bom, LI é um termo que a gente para dizer que, num conjunto de vetores, a gente não consegue escrever nenhum deles com combinação linear dos demais, só isso!

E uma base, tal como a base B do nosso enunciado, é um conjunto:

  1. LI;
  2. E qualquer outro vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B ;

Belezinha?

Passo 2

Passo 3

Agora que recapitulamos os conceitos mais importantes, vamos analisar cada alternativa uma a uma, começando por (I).

A afirmação tá dizendo que, não importa vetor v que eu pegue, o conjunto v + e 1 , v + e 2 , v + e 3 vai ser sempre LI. Será mesmo?

Essas afirmações que dizem que alguma coisa sempre acontece normalmente têm alguma pegadinha que vem da gente fazer alguma consideração espertinha. Nesse caso, é o seguinte: se a gente tomar, por exemplo, v = - e 1 , então o conjunto fica:

v + e 1 , v + e 2 , v + e 3 = - e 1 + e 1 , - e 1 + e 2 , - e 1 + e 3 = 0 , - e 1 + e 2 , - e 1 + e 3

Ahá! Olha só o que aconteceu: o primeiro vetor do conjunto é o vetor nulo e qualquer conjunto com o vetor nulo é necessariamente LD! Isso porque o vetor nulo sempre é combinação linear de qualquer outro, basta multiplicar por zero hehehe

Então já deu para ver que nada feito com a alternativa (I), né? Ela é falsa!

Passo 4

Dando continuidade, vamos agora à afirmação (II). Como temos um conjunto concreto de vetores aqui, talvez valha a pena aplicarmos diretamente um método qualquer para testar independência linear. Um método possível é colocar os vetores nas linhas de uma matriz e escalonar. Durante o processo, se uma ou mais linhas zerarem, é porque os respectivos vetores eram combinações lineares dos demais!

Mas antes de podermos colocar os vetores numa matriz, vamos escrevê-los na base B = { e 1 , e 2 , e 3 } da nossa questão:

  • e 1 + e 2 = 1 ∙ e 1 + 1 ∙ e 2 + 0 ∙ e 3 ⇒ 1,1 , 0
  • e 1 + e 3 = 1 ∙ e 1 + 0 ∙ e 2 + 1 ∙ e 3 ⇒ 1,0 , 1
  • e 2 + e 3 = 0 ∙ e 1 + 1 ∙ e 2 + 1 ∙ e 3 ⇒ ( 0,1 , 1 )
  • Show! Colocando então em uma matriz:

    1 1 0 1 0 1 0 1 1

    Multiplicando a primeira linha por - 1 e somando com a segunda:

    1 1 0 0 - 1 1 0 1 1

    Somando a segunda linha com a terceira:

    1 1 0 0 - 1 1 0 0 2

    E veja só! Temos três pivôs, com nenhuma linha nula. Logo, os tais três vetores e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 2 + e 3 são mesmo LI e afirmação (II) é verdadeira.

    Passo 4

    Uma última afirmação, hein? A gente tá quase acabando hahah

    Como essa afirmação é beeem parecida com a anterior, vamos aplicar a mesma estratégia, beleza?

    Começamos escrevendo os vetores e 1 , e 1 + e 2 , e 1 + e 2 + e 3 na base B = { e 1 , e 2 , e 3 } da nossa questão:

  • e 1 = 1 ∙ e 1 + 0 ∙ e 2 + 0 ∙ e 3 ⇒ 1 , 0 , 0
  • e 1 + e 2 = 1 ∙ e 1 + 1 ∙ e 2 + 0 ∙ e 3 ⇒ 1 , 1 , 0
  • e 1 + e 2 + e 3 = 1 ∙ e 1 + 1 ∙ e 2 + 1 ∙ e 3 ⇒ ( 1 , 1,1 )

Agora, colocando todos eles nas linhas de uma matriz, temos:

1 0 0 1 1 0 1 1 1

Multiplicando a primeira linha por - 1 e somando com as linhas 2 e 3 , respectivamente:

1 0 0 0 1 0 0 1 1

Por fim, multiplicando a segunda linha por - 1 e somando com a terceira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

E tcharam! De novo três pivôs, com nenhuma linha zerada. Ou seja, os vetores são LI mesmo, e a afirmação (III) é verdadeira também, assim como a (II).

Portanto, nossa resposta é a letra (b).

Ufa, acabamos! Que tal irmos juntos para mais uma questão, hein?

Resposta

(b) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

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