Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Todo conjunto gerador de V é linearmente independente.

I I Dados dois subespaços de V , a dimensão do subespaço obtido pela interseção entre eles não pode ser maior que n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Falsa né gente? Se pegarmos uma base de V :

v 1 , v 2 , … , v n

E acrescentarmos por exemplo o vetor v 1 + v 2 :

v 1 , v 2 , … , v n , v 1 + v 2

Ela continua gerando V , mas não é L I .

Afirmativa I I :

A maior interseção possível vai ser obtida quando os dois subespaços de V forem o próprio V haha. Lembrando que V é um subespaço de V ! Nesse caso teremos que a interseção de V com V é o próprio V , que tem dimensão n .

Também podemos pensar que a interseção de dois subespaços de V também é um subespaço de V , e portanto tem sua dimensão limitada por V . Então sua a dimensão máxima é n .

Essa é verdadeira.

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1