Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V .

Se sabemos que U não está contido em W , nem W está contido em U , podemos afirmar que:

a   U ∩ W é um subespaço de V , mas U ∪ W não é um subespaço de V

b   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W pode ser um subespaço de V

c   U ∩ W não é um subespaço de V e U ∪ W também não é um subespaço de V

d   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W também é um subespaço de V

Passo 1

Suponha que eu tenho uma base { a → ,   b → ,   c → } para U e uma base { u → ,   b → ,   c → } para W , sendo a → e u → vetores L I , pra garantir que U e W são conjuntos diferentes.

Passo 2

A interseção entre os dois é o b → ,   c → , que é um subespaço vetorial, pois eu posso garantir todas as combinações lineares de { b → , c → } estão em U e também estão em W , assim todas as combinações lineares de { b → ,   c → } tem que estar em U ∩ W . Logo é um subespaço vetorial.

Passo 3

A união entre os dois é o espaço gerado por { a → ,   b → ,   c → } mais o espaço gerado por { u → ,   b → ,   c → } . Ou seja, qualquer vetor que seja combinação linear de a → está em U ∪ W , assim como qualquer vetor que seja combinação linear de u → . Mas o vetor m a → + n u → , ou seja o vetor que é combinação linear de a → e u → não pertence a U ∪ W .

Como que eu vejo que m a → + n u → não pertence a U ∪ W ? Pega um exemplo em que U é um plano ( x y , digamos) e V é outro plano ( x z , dessa vez). Então, uma combinação linear leva o vetor para fora dos DOIS planos, deixando ele lá no meio do R 3 , viu? =)

Então U ∪ W não é subespaço vetorial e obtemos a alterantiva ( a ) como resposta.

Resposta

Letra a .

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1