Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Seja W o plano de R ³ formado pelos vetores ( x , y , z ) que satisfazem x - y + z = 0

b) Determina os geradores de W ⊥

Passo 1

Faaala, vamos lá pra mais uma!!

Antes de qualquer coisa:

Temos um subespaço formado por vetores ( x , y , z ) , mas esses vetores cumprem com a condição de que

x - y + z = 0

Ou seja:

x = y - z

Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço W podem ser escritos assim:

x , y , z = ( y - z , y , z )

y , y , 0 + ( - z , 0 , z ) = y ∙ 1,1 , 0 + z ∙ - 1 , 0,1

Ou seja, o subespaço W é gerado pelos vetores:

w 1 = 1,1 , 0

w 2 = ( - 1 , 0,1 )

Passo 2

Os vetores que encontramos no passo 1 formam a base do subespaço W :

β = 1,1 , 0 , - 1 , 0,1

E aí nesse item, queremos encontrar uma base pro complemento ortogonal de W , ou seja, uma base de W ⊥

Primeiramente, para encontrarmos a base de W ⊥ vamos lembrar que seus elementos devem ser ortogonais aos elementos da base β

Ou seja: um vetor ( x , y , z ) de W ⊥ deve ter o produto interno igual a 0 com os elementos da base β , bora lá!

Passo 3

Vamos chamar de ( x , y , z ) um vetor de W ⊥ , queremos que esse vetor seja ortogonal aos elementos da base β , ou seja:

x , y , z ∙ 1,1 , 0 = 0     ( I )

x , y , z ∙ - 1 , 0,1 = 0     ( I I )

Desenvolvendo a equação ( I ) :

x + y = 0 → x = - y → y = - x

E desenvolvendo a equação ( I I ) :

- x + z = 0 → x = z

Então, um vetor ( x , y , z ) do complemento ortogonal pode ser escrito assim:

x , y , z = x , - x , x = x . ( 1 , - 1,1 )

Logo, uma base para W ⊥ é

α = ( 1 , - 1,1 )

No caso, o gerador de W ⊥ é o vetor ( 1 , - 1,1 )

Detalhe importante: a soma da dimensão de W com a dimensão do seu complemento ortogonal, sempre deve dar o tamanho da dimensão que estamos trabalhando, no caso, o R ³

Repara que faz sentido: W tem dimensão 2 enquanto W ⊥ tem dimensão 1

Sucesso!!

Resposta

( 1 , - 1,1 )

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