Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam H1 = {(x, y, z) ∈ R3|x − 2y − 3z = 0} e H2 = {(x, y, z) ∈ R3|y = −x; z = x} dois subespaços de R3.

a) Encontrar uma base para H1 e H2 e determinar dimH1 e dimH2.

b) Determine H1⋂H2.

c) Determine H1 + H2.

d) Formar uma base de R3 usando vetores de H1 e H2.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos bagunçar uns subespaços.

a) vamos encontrar uma base para cada um dos espaços, para isto vamos procurar a solução da equação que o define o subespaço H 1 :

H 1 = { x , y , z ∈ R 3 | x - 2 y - 3 z = 0 }

x - 2 y - 3 z = 0

y = α

z = β

x = 2 α + 3 β

Assim podemos encontrar a forma genérica de um vetor que pertence a este subespaço:

2 α + 3 β α β ,   ∀   α , β ∈ R

Como temos 2 variáveis vamos quebrar esse vetor em 2 cada um com sua respectiva variável para encontrarmos a base:

2 α + 3 β α β = 2 α α 0 + 3 β 0 β = α 2 1 0 + β 3 0 1

Assim encontramos o vetor da base de H 1

B a s e = 2 1 0 , 3 0 1

Como a base tem 2 vetores podemos encontrar a sua dimensão:

D i m H 1 = 2

Já que o último vetor se tornou um vetor nulo ele é combinação linear dos primeiros, o conjunto de vetores não é linearmente independente.

Passo 2

Agora vamos procurar a forma genérica de um vetor que pertence ao subespaço H 2 :

H 2 = { x , y , z ∈ R 3 | y = - x ; z = x }

Podemos dizer que:

z = x = α

y = - α

Assim o vetor genérico será:

α - α α = α 1 - 1 1

Assim a base deste subespaço vetorial será:

B a s e H 2 = 1 - 1 1

Como a base só tem um vetor a dimensão do subespaço será:

D i m H 2 = 1

Passo 3

B) Vamos determinar a interseção entre   H 1 e H 2 , para isto vamos igualar o spam das bases:

γ - γ γ = 2 α + 3 β α β

Vamos ver se isto é possível:

Precisaríamos que α = - β , isso é possível já que eles podem ser qualquer numero.

E ainda precisaríamos que 2 α + 3 β = β → 2 α = - 2 β → α = - b .

Portanto a interseção entre H 1 e H 2 é o próprio H 2 .

Passo 4

C) Como acabamos de ver que a interseção entre H 1 e H 2 é H 2 , a união entre eles seria o próprio H 1 já que o H 2 não adiciona nenhum novo vetor.

Passo 5

Para formar uma base do R 3 precisamos de 3 vetores LI, mas como a dimensão do subespaço H 1 é 2, e ele engloba todo o subespaço H 2 não é possível formar uma base do R 3 pois só conseguimos encontrar 2 vetores LI em um subespaço de segunda dimensão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
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