Exercícios Resolvidos de Atrito Estático + Atrito Cinético

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Enunciado

Três blocos massivos são colocadas em um sistema, conforme a figura. As massas dos blocos A e B valem ambas m , e a massa do bloco C vale 2 m . A inclinação de ambos os planos inclinados é a mesma e vale 30 ° . As polias e os fios são ideais. Use g para a aceleração da gravidade. Dê as respostas em termos dos dados fornecidos pelo enunciado. (Observação, quando os blocos estão se movendo, os módulos de suas respectivas acelerações possuem o mesmo valor)

Inicialmente suponha que não há atrito entre os planos e os blocos A e B .

a) Faça o diagrama de corpo livre para os blocos A , B e C .

b) Determine a aceleração do sistema.

Suponha agora que exista atrito entre os blocos A e B e os planos inclinados, e que os seus valores são idênticos.

c) Faça o diagrama de corpo livre desta nova situação.

d) Calcule o coeficiente de atrito estático mínimo μ e entre os planos e os blocos A e B para os blocos permanecerem em repouso.

e) Caso os blocos já estejam se movendo, e o coeficiente de atrito cinético seja μ c = 1 3 , calcule a aceleração do sistema.

Passo 1

Começamos com uma situação onde não há atrito.

Queremos o diagrama de forças sobre os três blocos.

Bloco A:

Existe uma força peso P → A para baixo, uma força normal N → A perpendicular à superfície da rampa e uma força de tração T → A na direção do cabo:

Bloco B:

Para o bloco B , temos uma situação similar:

Bloco C:

Já no bloco C , há uma força peso P → C para baixo e uma força de tração em cada cabo:

Passo 2

Na letra (b), queremos a aceleração do sistema.

Para achar a aceleração, precisamos aplicar a Segunda Lei de Newton para os blocos.

Vamos começar com o bloco A :

Vamos analisar a aceleração na direção paralela à rampa, então, primeiro vamos decompor essa força peso P → A em suas componentes.

Passo 3

O ângulo de inclinação da rampa é 30 ° e ele aparece bem aqui:

Então, suas componentes são:

Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção da rampa, temos:

F R = m A a

OBS: O enunciado disse que a aceleração a é a mesma para todos os blocos.

T A + P A s e n 30 ° = m a

T A + m g s e n 30 ° = m a

T A = m a - g s e n 30 °

Como a situação do bloco B é exatamente a mesma (massa, inclinação, forças), são simétricos, sua equação resultante da Segunda Lei de Newton vai dar a mesma do bloco A :

T B = m a - g s e n 30 °

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco C :

P C - T A - T B = m C a

Substituindo as expressões para as forças de tração, temos:

P C - m a - g s e n 30 ° - m a - g s e n 30 ° = m C a

P C - 2 m a - g s e n 30 ° = m C a

A força peso P C é dada pela massa vezes a gravidade. Além disso, a massa do bloco C é 2 m :

2 m g - 2 m a - g s e n 30 ° = 2 m a

2 m g - 2 m a + 2 m g s e n 30 ° = 2 m a

4 m a = 2 m g + 2 m g s e n 30 °

Cortando a massa m :

4 a = 2 g + 2 g s e n 30 °

a = 2 g + 2 g s e n 30 ° 4

a = g 2 1 + s e n 30 °

O seno de 30 ° é conhecido e vale 1 / 2 , então:

a = g 2 1 + 1 2

a = 3 g 4

Passo 5

Na letra (c), agora vamos considerar que existe atrito. Queremos os novos diagramas de forças.

Bom, a força de atrito vai atuar contra a tendência de deslizamento dos blocos.

Assim, se os blocos tendem a deslizar para baixo da rampa, a força de atrito atua no sentido para cima da rampa.

Bloco A:

Bloco B:

Bloco C:

Já o diagrama do bloco C fica idêntico:

Passo 6

Na letra (d), queremos saber qual o coeficiente de atrito estático μ e que permita o nosso sistema ficar em equilíbrio.

Então, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a nova configuração.

Porém, dessa vez, vamos começar pelo bloco C .

Como o corpo está em equilíbrio, a força resultante é nula:

F R = 0

P C - T A - T B = 0

Mas, como o problema é simétrico e o próprio enunciado diz que os blocos A e B sofrem a mesma força de atrito, as forças de tração nos cabos serão iguais:

T A = T B

Então, temos que:

P C - 2 T A = 0

2 T A = 2 m g

T A = m g = T B

Passo 7

Agora, vamos ao aplicar a segunda lei para o bloco A :

Como o corpo está em equilíbrio, a força resultante é nula:

F R = 0

F a t A - P A s e n 30 ° - T A = 0

F a t A = m g s e n 30 ° + m g

Se queremos o mínimo coeficiente de atrito estático capaz de manter em equilíbrio o sistema, isso significa que a força de atrito estático está em seu valor m��ximo e qualquer peteleco é capaz de fazer o bloco deslizar.

A força de atrito estático máxima é dada por:

F a t m á x = μ e N

Mas quem é essa força normal N ?

Passo 8

Podemos achar essa força normal fazendo o equilíbrio de forças na direção perpendicular à rampa:

F R = 0

N A - P A c o s 30 ° = 0

N A = m g c o s 30 °

Então, a força de atrito máxima será dada por:

F a t m á x = μ e m g c o s 30 °

Passo 9

Aplicando essa força de atrito no equilíbrio de forças, temos:

F a t A = m g s e n 30 ° + m g

μ e m g c o s 30 ° = m g s e n 30 ° + m g

Podemos cortar " m g " e ficamos com:

μ e c o s 30 ° = s e n 30 ° + 1

Substituindo os valores de seno e cosseno de 30 ° :

μ e 3 2 = 1 2 + 1

μ e 3 2 = 3 2

μ e = 3 3 = 3 3 3 3

μ e = 3  

Passo 10

Na letra (e), ele muda novamente as condições.

Agora, o sistema já está se movimentando e o coeficiente de atrito cinético é:

μ c = 1 3

Queremos a nova aceleração.

Vamos, novamente aplicar a Segunda Lei de Newton, considerando agora uma aceleração:

F R = m C a

Novamente, pela simetria do problema, as forças de tração serão iguais:

P C - 2 T A = 2 m a

2 T A = 2 m g - 2 m a

T A = m g - a

Passo 11

Voltando para o bloco A , temos:

F R = m A a

T A + P A s e n 30 ° - F a t A = m a

m g - a + m g s e n 30 ° - μ c N = m a

m g - m a + m g s e n 30 ° - μ c N = m a

2 m a = m g + m g s e n 30 ° - μ c N

A força normal N terá o mesmo valor que calculamos fazendo o equilíbrio na direção perpendicular à rampa:

N = m g c o s 30 °

Substituindo isso, temos:

2 m a = m g + m g s e n 30 ° - μ c m g c o s 30 °

Cortando a massa m :

2 a = g + g s e n 30 ° - μ c g c o s 30 °

Aplicando os valores numéricos de μ c e seno e cosseno de 30 ° :

2 a = g 1 + 1 2 - 1 3 3 2

2 a = g 1 + 1 2 - 1 2

a = g 2

Essa será a aceleração do sistema para a força de atrito cinética.

Resposta

(a)

Bloco A :

Bloco B :

Bloco C :

(b) a = 3 g 4

(c)

Bloco A:

Bloco B:

Bloco C:

(d)

μ e = 3

(e)

a = g 2

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