Enunciado

Um capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas metálicas e coaxiais. A casca interna possui raio a e carga + Q , enquanto que a casca externa possui raio b e carga - Q . Ambas as cascas possuem comprimento L   L ≫ a   e   L ≫ b .

a Calcule a capacitância do capacitor.

b Calcule a densidade de energia eletrostática armazenada no interior do capacitor.

c Utilize o campo elétrico obtido no item a , e calcule a energia armazenada no interior do capacitor.

d Um dielétrico de constante dielétrica k é colocado entre as placas do capacitor de maneira a preencher todo espaço entre elas. Nestas circunstâncias, calcule o campo elétrico no interior do capacitor e as cargas induzidas na superfície do dielétrico, Q ' .

Passo 1

a Calcule a capacitância do capacitor.

A capacitância é dada por:

C = Q V

Onde o potencial elétrico é dado por:

V = - ∫ a b E → ∙ d r →

Assim, o primeiro passo para calcular a capacitância é o cálculo do campo elétrico entre as cascas. Para esse problema, vamos utilizar a Lei de Gauss aplicada à simetria cilíndrica.

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A nossa gaussiana cilíndrica possui raio r , tal que a ≤ r ≤ b . Assim, a mesma engloba somente a casca interna, de carga + Q . Logo:

E × 2 π r L = Q ϵ 0

E r = Q 2 π ϵ 0 r L

Passo 2

O segundo passo é o cálculo do potencial elétrico, dado por:

V = - ∫ a b E → ∙ d r →

V = - ∫ a b Q 2 π ϵ 0 r L   d r = - Q 2 π ϵ 0 L ∫ a b d r r

V b a = - Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b / a

Passo 3

Finalmente, agora basta utilizar a equação da capacitância:

C = Q V

Onde V = V b a .

C = Q Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b / a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b / a

Passo 4

b Calcule a densidade de energia eletrostática armazenada no interior do capacitor.

A densidade de energia eletrostática, por definição, é dada por:

u = ϵ 0 E 2 2

Substituindo aqui a expressão do campo elétrico que encontramos no Passo 1, teremos:

u = ϵ 0 2 Q 2 π ϵ 0 r L 2

Organizando a bagunça, teremos:

u = ϵ 0 2   Q 2 4 π 2 ϵ 0 2 r 2 L 2

u = Q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 L 2

Passo 5

c Utilize o campo elétrico obtido no item a , e calcule a energia armazenada no interior do capacitor.

Na letra b vimos que a densidade de energia eletrostática (calculada a partir do campo elétrico) é dada por:

u = Q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 L 2

Assim, para calcular a energia armazenada, podemos utilizar a densidade de energia da seguinte forma:

U = ∫ a b u   d V

Onde d V = 2 π r L   d r . Logo:

U = ∫ a b Q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 L 2   2 π r L   d r

Organizando isso, teremos:

U = Q 2 4 π ϵ 0 L ∫ a b d r r

U = Q 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ b / a

Passo 6

d Um dielétrico de constante dielétrica k é colocado entre as placas do capacitor de maneira a preencher todo espaço entre elas. Nestas circunstâncias, calcule o campo elétrico no interior do capacitor e as cargas induzidas na superfície do dielétrico, Q ' .

Ao colocarmos um dielétrico entre as placas, a permissividade, que antes era ϵ 0 , agora passa a ser ϵ , tal que:

ϵ = κ ϵ 0

Assim, aplicando novamente a Lei de Gauss, temos que:

∮ E → ∙ d A → = Q κ ϵ 0

E × 2 π r L = Q κ ϵ 0

E r = Q 2 π κ ϵ 0 r L

Passo 7

Voltando à Lei de Gauss. A constante dielétrica aparece em decorrência de cargas induzidas no interior do dielétrico.

Assim, junto à placa de carga Q , será induzida uma carga - Q ' . O oposto ocorre na placa negativa do capacitor, onde, no dielétrico, será induzida uma carga + Q ' .

Assim, aplicando novamente a Lei de Gauss, temos:

∮ E → ∙ d A → = Q κ ϵ 0 = Q - Q ' ϵ 0

Reorganizando isso, teremos:

Q ' = Q - Q κ

Q ' = Q κ - 1 κ

Resposta

a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

b

u = Q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 L 2

c

U = Q 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ b / a

d

E r = Q 2 π κ ϵ 0 r L

Q ' = Q κ - 1 κ

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