Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Duas placas condutoras quadradas, cada qual com lado igual a L , são separadas por uma distância D . Uma placa dielétrica com constante dielétrica K e com dimensões L × L × D é inserida até uma distância x no espaço entre as placas, como indica a figura.

(a) Calcule a capacitância C do sistema.

(b) Suponha que o capacitor seja conectado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre as placas. Se a placa dielétrica for inserida até uma distância adicional d x no espaço entre as placas, mostre que a variação de energia acumulada é dada por:

d U = + K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

(c) Suponha que, antes de a placa se mover uma distância d x , as placas sejam desconectadas da bateria, de modo que as cargas das placas permaneçam constantes. Determine o módulo da carga em cada placa e a seguir mostre que, quando a placa penetra mais uma distância d x no interior do espaço entre as placas, a energia acumulada varia de uma quantidade igual em módulo, mas de sinal contrário ao valor d U encontrado no item (b).

Passo 1

(a) Calcule a capacitância C do sistema.

Vamos imaginar que o dispositivo da figura seja uma associação de dois capacitores em paralelo, sendo que um deles possui um dielétrico entre suas placas. As capacitâncias para os capacitores sem dielétrico C 0 e com dielétrico C K são dadas por:

C 0 = ϵ 0 L L - x D ,

C K = K ϵ 0 L x D .

Fazendo a associação em paralelos, vamos ter a seguinte capacitância equivalente:

C e q = C 0 + C K ,

C e q = ϵ 0 L D L + x K - 1 .

Passo 2

(b) Suponha que o capacitor seja conectado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre as placas. Se a placa dielétrica for inserida até uma distância adicional d x no espaço entre as placas, mostre que a variação de energia acumulada é dada por:

d U = + K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

A energia acumulada no capacitor pode ser calculada como:

U = C e q V 2 2 .

Podemos substituir na expressão acima o valor da capacitância equivalente que calculamos. Temos, então:

U = ϵ 0 L 2 D L + x K - 1 V 2 .

Podemos agora derivar U em relação a x para calcular a taxa de variação:

d U d x = ϵ 0 L V 2 2 D K - 1 .

Por fim, temos que:

d U = K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

Passo 3

(c) Suponha que, antes de a placa se mover uma distância d x , as placas sejam desconectadas da bateria, de modo que as cargas das placas permaneçam constantes. Determine o módulo da carga em cada placa e a seguir mostre que, quando a placa penetra mais uma distância d x no interior do espaço entre as placas, a energia acumulada varia de uma quantidade igual em módulo, mas de sinal contrário ao valor d U encontrado no item (b).

A carga acumulada é dada por:

Q = C e q V .

Substituindo o valor de C e q na expressão acima, temos:

Q = ϵ 0 L D L + x K - 1 V .

Já a energia acumulada é calculada como:

U = Q 2 2 C e q .

Bem, como queremos calcular a taxa de variação de U em relação a x , podemos derivar a expressão acima usando a regra da cadeia. Vamos lá:

d U d x = d U d C e q d C e q d x ,

d U d x = - Q 2 2 C e q 2 d C e q d x ,

onde consideramos que a carga é constante! Lembrnado que as placas agora estão desconectadas da bateria ;)

Vamos continuar, agora sim substituindo o valor de Q na expressão aí de cima:

d U d x = - ϵ 0 L D L + x K - 1 V 2 2 ϵ 0 L D L + x K - 1 2 d d x ϵ 0 L D L + x K - 1 ,

d U d x = - V 2 2 ϵ 0 L K - 1 D ,

d U = - K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x ,

que é onde queríamos chegar!

Resposta

(a) C e q = ϵ 0 L D L + x K - 1 .

(c)   Q = ϵ 0 L D L + x K - 1 V .

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