Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Três capacitores de placas planas e paralelas estão ligados como mostra a figura abaixo. Inicialmente, os capacitores C 2 e C 3 estão descarregados e C 1 está carregado com carga q 0 . A chave é então fechada.

a ) Calcular a carga em cada capacitor e a diferença de potencial através dos mesmos após o estabelecimento do equilíbrio.

Mantendo-se a chave S fechada é inserido um material de constante dielétrica κ no capacitor C 3 , preenchendo totalmente o volume entre suas placas.

b ) Nesta nova situação, calcular a carga em cada capacitor e a diferença de potencial através dos mesmos, após o restabelecimento do equilíbrio.

c ) Calcular a variação da energia potencial elétrica Δ U = U f - U i em C 1 , onde U i é a energia antes do fechamento da chave e U f é a energia após a colocação do dielétrico.

Passo 1

a ) Calcular a carga em cada capacitor e a diferença de potencial através dos mesmos após o estabelecimento do equilíbrio.

Após o estabelecimento do equilíbrio, duas coisas devem acontecer:

  • Os três capacitores deve apresentar a mesma diferença de potencial V ;
  • A soma das cargas dos três capacitores deve ser igual a q 0 ;

Logo:

q 1 + q 2 + q 3 = q 0

V = q 1 C 1 = q 2 C 2 = q 3 C 3

As cargas de cada capacitor serão dadas por:

q 1 = C 1 V

q 2 = C 2 V

q 3 = C 3 V

Passo 2

Somando as três cargas:

q 1 + q 2 + q 3 = q 0

C 1 V + C 2 V + C 3 V = q 0

V C 1 + C 2 + C 3 = q 0

Finalmente:

V = q 0 C 1 + C 2 + C 3

E as cargas em cada capacitor serão:

q 1 = C 1 q 0 C 1 + C 2 + C 3

q 2 = C 2 q 0 C 1 + C 2 + C 3

q 3 = C 3 q 0 C 1 + C 2 + C 3

Passo 3

b ) Nesta nova situação, calcular a carga em cada capacitor e a diferença de potencial através dos mesmos, após o restabelecimento do equilíbrio.

Assim que adicionamos o dielétrico no capacitor C 3 , as capacitâncias passarão a ser:

C 1 ' = C 1

C 2 ' = C 2

C 3 ' = κ C 3

Como os três capacitores continuam em paralelo, eles devem ter a mesma diferença de potencial V ' . Além disso, a somas das cargas deve continuar sendo igual a q 0 .

q 1 ' + q 2 ' + q 3 ' = q 0

Então a ideia aqui é a mesma que usamos anteriormente.

q 1 ' = C 1 V '

q 2 ' = C 2 V '

q 3 ' = κ C 3 V '

Somando as cargas, teremos:

q 1 ' + q 2 ' + q 3 ' = q 0

C 1 V ' + C 2 V ' + κ C 3 V ' = q 0

V ' C 1 + C 2 + κ C 3 = q 0

Finalmente:

V ' = q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

E as cargas será dadas por:

q 1 ' = C 1 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

q 2 ' = C 2 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

q 3 ' = κ C 3 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

Passo 4

c ) Calcular a variação da energia potencial elétrica Δ U = U f - U i em C 1 , onde U i é a energia antes do fechamento da chave e U f é a energia após a colocação do dielétrico.

A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor é dada por:

U = q 2 2 C

Logo, a energia inicial no capacitor 1 é dada por:

U i = q 0 2 2 C 1

E a energia final no capacitor 1 é dada por:

U f = q 1 ' 2 2 C 1

Como no passo anterior já calculamos a carga final q 1 '

U f = 1 2 C 1   C 1 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3 2

U f = C 1 2 q 0 2 2 C 1 C 1 + C 2 + κ C 3 2

Portanto:

Δ U = U f - U i

Δ U = C 1 2 q 0 2 2 C 1   C 1 + C 2 + κ C 3 2 - q 0 2 2 C 1

Δ U = q 0 2 2 C 1 C 1 2 C 1 + C 2 + κ C 3 2 - 1

Resposta

a )

V = q 0 C 1 + C 2 + C 3

q 1 = C 1 q 0 C 1 + C 2 + C 3

q 2 = C 2 q 0 C 1 + C 2 + C 3

q 3 = C 3 q 0 C 1 + C 2 + C 3

b )

V ' = q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

q 1 ' = C 1 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

q 2 ' = C 2 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

q 3 ' = κ C 3 q 0 C 1 + C 2 + κ C 3

c )

Δ U = q 0 2 2 C 1 C 1 2 C 1 + C 2 + κ C 3 2 - 1

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