Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Dois capacitores idênticos, inicialmente no vácuo, são conectados aos terminais de uma bateria que fornece uma diferença de potencial constante V , como mostrado na figura abaixo. A seguir, mantendo a bateria conectada, insere-se uma placa isolante de constante dielétrica K entre as placas de um dos capacitores, de forma a ocupar todo o volume entre elas. Nessa situação, é correto afirmar que, após a inserção:

  1. A carga armazenada no capacitor com o dielétrico diminui com relação ao valor original.
  2. Os dois capacitores armazenam a mesma energia.
  3. A carga armazenada no capacitor que permanece no vácuo aumenta com relação ao valor original.
  4. Os dois capacitores terão a mesma diferença de potencial entre suas placas.
  5. A energia armazenada no capacitor que permanece no vácuo diminui com relação ao valor original.

Passo 1

Primeiro vamos entender o que está acontecendo

Quando o dielétrico é colocado no capacitor debaixo a sua capacitância aumenta para

C = C 0 K

Onde K > 1 é a constante dielétrica do material.

A capacitância equivalente do sistema irá mudar também! Como os dois capacitores estão em série vamos ter

1 C e q = 1 C 0 + 1 K C 0 → C e q = K C 0 1 + K

Como as duas capacitâncias estão sempre em contato com a bateria então a carga nos capacitores vai aumentar, ou seja

V = Q C e q → Q = V C e q = V K C 0 1 + K

Pra poder comparar temos que calcular a carga antes de inserir o dielétrico, assim a capacitância equivalente antes de inserir o dielétrico será

1 C e q a n t e s = 1 C 0 + 1 C 0 → C e q a n t e s = C 0 2

E a carga antes de inserir o dielétrico será

Q 0 = V C e q a n t e s = V C 0 2

Agora podemos comparar a carga antes e depois de inserir o dielétrico!

Q = V K C 0 1 + K → Q = 2 K 1 + K Q 0

Como K > 1 , então 2 K / ( 1 + K ) é maior que 1 também, então Q > Q 0 , ou seja, ao adicionarmos o dielétrico no capacitor de baixo, a carga nos dois capacitores aumenta!

E a ddp? Bem temos que a soma delas tem que ser igual à ddp da bateria

V = V c i m a + V b a i x o

Antes de inserir o dielétrico as ddps eram as mesmas e eram dadas por

V c i m a a n t e s = V b a i x o a n t e s = Q 0 C 0

Após inserir o dielétrico cada uma delas é dada por

V c i m a d e p o i s = Q C 0 = 2 K 1 + K Q 0 C 0

V c i m a d e p o i s = 2 K 1 + K V c i m a a n t e s  

Aqui vemos que a ddp do capacitor de cima aumentou!

V b a i x o d e p o i s = Q K C 0 = 1 K 2 K 1 + K Q 0 C 0  

V b a i x o d e p o i s = 2 1 + K V b a i x o a n t e s  

Aqui vemos que a ddp do capacitor de baixo diminuiu!

Beleza! Agora vamos olhar cada um dos itens!

Passo 2

(a) A carga armazenada no capacitor com o dielétrico diminui com relação ao valor original.

Já discutimos que o valor da carga no capacitor com dielétrico tem que aumentar, então essa está errada.

Passo 3

(b) Os dois capacitores armazenam a mesma energia

Lembra como é a equação da energia armazenada num capacitor? É essa aqui ó:

U = 1 2 C V 2

Como esses capacitores estão em série então eles compartilham a mesma carga. Pra isso vale mais a pena a usar a expressão que tem C e Q , usando V = Q / C

U = 1 2 C Q C 2 = Q 2 2 C

Então a energia armazenada no capacitor de cima será

U c i m a = Q 2 2 C 0

E o de baixo

U b a i x o = Q 2 2 C = Q 2 2 K C 0

Ou seja, as energias armazenadas em cada um dos capacitores são diferentes entre si. Assim essa frase está errada também!

Passo 4

(c) A carga armazenada no capacitor que permanece no vácuo aumenta com relação ao valor original.

Já falamos que o capacitor de baixo vai ter a sua carga aumentada! Como o capacitor de cima está em série com o de baixo e capacitores em séries têm a mesma carga, a carga no capacitor de baixo também aumentará!

Então essa frase é verdadeira!

Vamos dar uma olhada nas outras pra garantir?

Passo 5

(d) Os dois capacitores terão a mesma diferença de potencial entre suas placas.

Quando temos capacitores em série o que acontece é que

V = V c i m a + V b a i x o

Essa ddp se divide igualmente quando os capacitores têm a mesma capacitância, só que no nosso caso

V = Q C 0 + Q K C 0

Ou melhor dizendo

V c i m a = Q C 0

V b a i x o = Q K C 0

Ou seja, essas diferenças de potencial não são iguais entre si (apesar da soma entre elas ser sempre V ).

Na verdade também fizemos a big conta no passo 1 mostrando que essas ddps são diferentes!

Essa frase está errada!

Passo 6

(e) A energia armazenada no capacitor que permanece no vácuo diminui com relação ao valor original.

A energia armazenada no capacitor de cima é dada por

U = 1 2 C V 2

Como a capacitância dele permaneceu a mesma basta olhar para sua ddp! Já discutimos no passo 1 que a sua ddp aumenta, então a energia armazenada nele também irá aumentar!

Logo essa afirmação está errada também!

Resposta

Letra c).

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