Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor é composto de placas paralelas quadradas de lado l e separadas por uma distância d . Um bloco de material dielétrico, também de lado l e espessura d e de constante de permissividade κ é introduzido no capacitor, preenchendo completamente o espaço entre as placas.

  1. Escreva as expressões para as capacitâncias para a situação de vácuo entre as placas (sem o dielétrico) e quanto tem-se o dielétrico de constante de permissividade κ ;
  2. Calcule a variação (devido à colocação do dielétrico) de energia armazenada no caso das placas, quando a carga, nas placas da armadura é mantida constante;
  3. Calcule a mudança de energia armazenada (devido à colocação do dielétrico) quando a diferença de potencial V entre as placas for mantida constante;
  4. Por fim, a placa é parcialmente deslocada, deixando um comprimento x x < l do espaço livre, qual será a nova capacitância?

Passo 1

a) Escreva as expressões para as capacitâncias para a situação de vácuo entre as placas (sem o dielétrico) e quando tem-se o dielétrico de constante de permissividade κ ;

A capacitância para um capacitor de placas planas e paralelas é dada por:

C 0 = ϵ 0 A d

Como se tratam de placas quadradas:

A = l 2

C 0 = ϵ 0 l 2 d

Quando adicionarmos o dielétrico entre as placas do capacitor, a capacitância passará a ser:

C d = κ C 0

C d = κ ϵ 0 l 2 d

Passo 2

b) Calcule a variação (devido à colocação do dielétrico) de energia armazenada no caso das placas, quando a carga, nas placas da armadura é mantida constante;

É importante lembrar que, quando adicionamos o dielétrico ao capacitor, as únicas grandezas que variam são a capacitância C e a diferença de potencial V entre os terminais do capacitor. A menos que a questão diga algo sobre isso, a carga permanece constante.

Assim, para a situação inicial, a energia armazenada no capacitor é dada por:

U 0 = Q 2 2 C 0

E para quando temos o dielétrico entre as placas do capacitor:

U d = Q 2 2 C

Onde C = κ C 0 . Logo:

U d = Q 2 κ 2 C 0

U d = U 0 κ

Portanto, a variação de energia será:

Δ U = U d - U 0

Δ U = U 0 κ - U 0

Δ U = U 0 1 κ - 1

Passo 3

c) Calcule a mudança de energia armazenada (devido à colocação do dielétrico) quando a diferença de potencial V entre as placas for mantida constante;

Opa! Então nesse caso, se a diferença de potencial permanece constante, isso significa que a carga no capacitor variará quando adicionarmos o dielétrico.

Se V permanece constante, podemos reescrever a fómula para a energia armazenada no capacitor em função de V .

U = Q 2 2 C

V = Q C → Q = V C

U = V 2 C 2

Agora sim! Inicialmente, a energia armazenada no capacitor será:

U 0 = V 2 C 0 2

E a energia armazenada no capacitor após adicionarmos o dielétrico será:

U d = V 2 C d 2 = κ V 2 C 0 2

U d = κ U 0

Portanto, a variação de energia será dada por:

Δ U = U d - U 0

Δ U = κ U 0 - U 0

Δ U = κ - 1 U 0

Passo 4

d) Por fim, a placa é parcialmente deslocada, deixando um comprimento x x < l do espaço livre, qual será a nova capacitância?

Quando o problema tem essa cara, podemos usar a situação de dois capacitores arrumados em paralelo.

O primeiro capacitor (esquerda) terá área A 0 = x l e distância entre as placas de d , tendo apenas vácuo no espaço entre as placas. O segundo capacitor (direita) terá área A d = l - x l e distância entre as placas de d , possuindo o dielétrico de constante κ no espaço entre as placas.

Sabendo que a capacitância para capacitores de placas planas e paralelas é dada por:

C = ϵ 0 A d

As capacitâncias para cada lado será:

C 0 = ϵ 0 x l d

C d = κ ϵ 0 l - x l d

Para capacitores em paralelo, a capacitância equivalente será:

C = C 0 + C d

C = ϵ 0 x l d + κ ϵ 0 l - x l d

C = ϵ 0 l d x + κ l - x

Resposta

a.

C 0 = ϵ 0 l 2 d

C d = κ ϵ 0 l 2 d

b.

Δ U = U 0 1 κ - 1

c.

Δ U = κ - 1 U 0

d.

C = ϵ 0 l d x + κ l - x

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