Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

Ver Teoria

Enunciado

Considere um capacitor constituído por duas cascas metálicas cilíndricas e coaxiais. A casca interna de raio a tem carga + Q , e a externa de raio b tem carga - Q . O comprimento L das cascas é muito maior que seus raios ( L ≫ a e L ≪ b ). Expresse as respostas às questões abaixo em termos de Q , L , a , b e ϵ 0 .

(a) Calcule o campo elétrico na região entre as placas.

(b) Calcule a capacitância do capacitor.

(c) Qual é a energia total armazenada no capacitor?

(d) Qual é a densidade de energia elétrica em um ponto qualquer entre as placas?

(e) A partir do resultado da letra (d) obtenha novamente o resultado da letra (c).

Passo 1

Para resolver o item (a), vamos utilizar Lei de Gauss.

O primeiro passo é determinar uma superfície gaussiana. Bem, como o problema possui simetria cilíndrica, vamos utilizar um cilindro de raio r localizado entre as duas placas, ou seja, a < r < b .

Passo 2

Agora, vamos olhar para a expressão da Lei de Gauss:

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 .

Podemos tirar as seguintes conclusões:

  1. O vetor campo elétrico E → é paralelo ao vetor normal à superfície e, consequentemente ao vetor d A → logo, E → ∙ d A → = E d A ;
  2. O campo E → é uniforme ao longo de toda a superfície gaussiana; e
  3. A carga interna Q i n t nada mais é que a carga da casca cilíndrica interna, ou seja, + Q .

Passo 3

A partir daí, podemos reescrever a equação da Lei de Gauss como:

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 ,

∮ E d A = Q ϵ 0 ,

E ∮ d A = Q ϵ 0 .

A área da superfície gaussiana é a área lateral do cilindro, ou seja, A = ∮ d A = 2 π r L .

Passo 4

Por fim, chegamos em:

E 2 π r L = Q ϵ 0 ,

E = 1 2 π ϵ 0 Q r L .

Lembrando que o campo sai da casca interna (positiva) no sentido da casca externa (negativa)!

Passo 5

Agora, vamos resolver o item (b). Bem, por definição, a capacitância de um capacitor é dada por:

C = Q V a b ,

onde Q é a carga de cada condutor e V a b é a diferença de potencial entre os condutores.

Temos o valor de Q , não é? Precisamos, então, calcular V a b .

Passo 6

A diferença de potencial V a b pode ser calculada a partir do campo elétrico como:

V a b = ∫ a b E → ∙ d r → ,

onde d r → é o vetor de deslocamento.

Bem E → e d r → são paralelos, já que ambos os vetores apontam da casca interna para a externa. Assim sendo, E → ∙ d r → = E d r .

Sabendo disso, só substituímos na expressão de V a b :

V a b = ∫ a b E ( r ) d r .

Notem que já expressei o campo E como uma função da variável r , ou seja, E ( r ) .

Passo 7

Agora, precisamos saber quanto vale E ( r ) , certo? Bem, nós já calculamos seu valor no item (a)!

Bora então substituir E ( r ) na expressão de V a b :

V a b = ∫ a b 1 2 π ϵ 0 Q r L d r = Q 2 π ϵ 0 L ∫ a b 1 r d r ,

V a b = Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a .

Passo 8

Tranquilo até aqui? Agora já conseguimos calcular a capacitância do nosso capacitor!

Temos:

C = Q V a b = 2 π �� 0 L ln ⁡ b a .

Passo 9

c)

Para começar, vamos calcular a energia armazenada no capacitor. Ela é dada por:

U = Q 2 2 C .

Temos o valor da capacitância C do item (b), dada por

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a .

Substituindo na expressão de U , chegamos em:

U = Q 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ b a .

Passo 10

d)

Para o cálculo de densidade de energia, vamos utilizar a seguinte expressão:

u ( r ) = U V o l ( r ) ,

onde V o l ( r ) é o volume da região entre uma casca cilíndrica de raio r e a casca interna de raio a , com a < r < b , ou seja, entre as placas.

Nesse caso, V o l ( r ) é dado por:

V o l ( r ) = π r 2 L - π a 2 L ,

V o l = π L r 2 - a 2 ,

Passo 11

O valor da densidade de energia u ( r ) para um ponto a uma distância r da casca interna será dado, portanto, por:

u ( r ) = U V o l ( r ) = Q 2 4 π 2 ϵ 0 L 2 ln ⁡ b a ( r 2 - a 2 ) .

Passo 12

e)

Bem, agora partimos do resultado encontrado no Passo 11 (ou seja, o valor de u ( r ) ) para obter a energia armazenada no capacitor.

Sabemos que:

U = V o l ( b ) u ( b ) =   π L b 2 - a 2 Q 2 4 π 2 ϵ 0 L 2 ln ⁡ b a ( b 2 - a 2 ) ,

U = Q 2 4 π ϵ 0 L   ln ⁡ b a ,

que é o valor encontrado no item (c).

Resposta

a) O campo elétrico na região entre as placas é dado por:

E = 1 2 π ϵ 0 Q r L .

b) A capacitância do capacitor é dada por:

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a .

(c) A energia total armazenada no capacitor é dada por:

U = Q 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ b a .

(d) A densidade de energia elétrica em um ponto com distância r à placa interna é dada por:

u r = Q 2 4 π 2 ϵ 0 L 2 ln ⁡ b a r 2 - a 2 .

(e) Passo 12

Exercícios de Livros Relacionados

Um capacitor de placas paralelas, cujas áreas são A e o espaçamento entre elas é x , não tem dielétrico no espaço entre as placas. Uma carga Q está na placa carregada positivamente. (a) Determine a en
Antes de a chave S ser fechada, como mostra a Figura 24-51, a tensão nos terminais do interruptor é 120V e a tensão no capacitor é C 1 é 40,0V . A capacitância de C 1 é 0,200μ F . A energia total arma
Qual é a máxima densidade de energia elétrica em uma região contendo ar seco em condições-padrão?
Exercício de Livro
Considere dois capacitores de placas paralelas, C 1 e C 2 conectados em paralelo. Os capacitores são idênticos exceto pelo fato de C 2 tem um dielétrico inserido entre suas placas. Uma bateria de 200V