Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

  1. Um capacitor de placas paralelas com área de cada placa A e separação entre elas d , está imerso no vácuo. Calcule a capacitância deste capacitor.
  2. Uma placa de material dielétrico com constante dielétrica k , espessura l l < d e área A , é colocada no interior do capacitor, a meia distância de cada uma das placas do mesmo, de maneira que nenhuma fração do dielétrico fique fora do capacitor. Calcule a nova capacitância do capacitor.

Passo 1

Vamos dividir o nosso problema em dois instantes:

  1. Primeiro instante, temos um capacitor carregado sem o dielétrico (veja a OBS1):
  2. Segundo instante, temos um capacitor carregado com o dielétrico:

OBS1: Materiais dielétricos são materiais isolantes colocados entre uma placa e outra de um capacitor para evitar que as duas placas se encoste uma na outra. ;)

OBS2: AH! Embora a gente desenhasse o capacitor em duas dimensões, te em mente que isso está no 3D, já eh? O capacitor na verdade são duas chapas paralelepipédicas.

O item A do problema acontece no primeiro instante e é no item B da C, é que vamos considerar o dielétrico na brincadeira! Vamos nessa?

Passo 2

L e t r a   A

Cara, a capacitância de um capacitor C 0 (no vácuo e sem nenhum material isolante no meio) só depende das condições físicas do material:

C 0 = ε 0 A d

Onde A é a área da chapa do capacitor e d a separação entre as placas. Como os valores de A e de d foram dados como constantes, podemos deixar assim!

Ta aí! A capacitância do nosso capacitor nesse primeiro momento.

Passo 3

L e t r a   B :

Bem, com a capacitância em mãos também podemos determinar a quantidade de cargas livres que se juntaram no capacitor, pela relação...

q = C 0 V 0   →

Onde V 0 é o potencial inicialmente entre as placas. E o interessante é que com o dielétrico ou sem, a carga livre que se juntou na superfície do capacitor vai ser a mesma...

q = C V

E é da junção dessas duas expressões que a gente vai tirar a relação da nova capacitância com a inserção do dielétrico...

C V = C 0 V 0     →

C = C 0 V 0 V

Repare que precisamos então encontrar o valor do novo potencial que surge ao se inserir o dielétrico. E aí é só substituir e correr para o abraço. Vamos nessa?

Passo 4

Cara, para um capacitor sem nenhum dielétrico, o campo magnético que se estabelece entre as placas é E 0 ...

Uma constante que se relaciona com o potencial V 0 do capacitor por...

V 0 = E 0 d

Mas esse E 0 só existe no vácuo. Porque quando você insere o dielétrico, onde o dielétrico está o campo se reduz para E (Mas E 0 continua existindo onde não se tem vácuo):

Mas o interessante é que se você conhecer a constante dielétrica do material (no caso é k ) então você conhece o valor do campo elétrico E pela relação...

E = E 0 k

Tá, mas e daí?

Passo 5

POW! Para encontrar a nova capacitância, precisamos encontrar primeiro qual é o novo potencial V entre as placadas do capacitor e que vai ser igual a soma dos potenciais...

E para isso, precisamos somar os três potenciais:

V n = V 1 + V 2 + V 3

O campo elétrico nessas três regiões embora ele mude de E 0 para E dentro do material dielétrico, ele continua constante e sempre pra baixo. Desse modo podemos usar a definição de que...

Então...

V 1 = E 0 d - l 2 ,             V 2 = E l             e               V 3 = E 0 d - l 2

Repare que o único trecho onde o campo elétrico muda dentro da região que ele vale E conforme calculado no último item...

V = V 1 + V 2 + V 3       →

V = E 0 d - l 2 + E l   + E 0 d - l 2       →

V = E 0 d - l + E l

Como o campo E = E 0 k ...

V = E 0 d - l + E 0 k l     →

V = E 0 d - l + l k

E ainda, como V 0 = E 0 d ...

V = V 0 d d - l + l k

Passo 6

Bem, agora finalmente podemos determinar uma nova relação para a nova capacitância dado que para o capacitor ainda continua válida a expressão:

C = C 0 V 0 V     →

C = C 0 V 0 V 0 d d - l + l k       →

C = C 0 d d - l + l k

Como encontramos C 0 no início do problema...

C 0 = ε 0 A d     →

C = ε 0 A d - l + l k

Legal, neh?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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