Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Considere um capacitor esférico formado por um condutor interno de raio a e um condutor externo de raio b , conforme a figura. O espaço entre os condutores é preenchido com material de constante dielétrica κ .

Carrega-se o condutor interno com carga + Q e o externo com carga - Q (cargas livres). O campo elétrico devido apenas a essas cargas livres é

E → 0 = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Onde r é a distância ao centro do capacitor esférico.

a ) Escreva a expressão do vetor campo elétrico dentro do dielétrico a < r <   b .

b ) Calcule a energia U 0 armazenada no capacitor na ausência de dielétrico (em função de a ,   b , Q e ϵ 0 ), e a energia U na presença do dielétrico (em função de a ,   b ,   Q ,   ϵ 0 e κ ).

c ) Calcule o vetor campo elétrico E → i devido somente às cargas induzidas (ligadas) no dielétrico.

Passo 1

a ) Escreva a expressão do vetor campo elétrico dentro do dielétrico a < r <   b .

O próprio problema já nos disse que o campo elétrico devido apenas às cargas livres é dado por

E → 0 = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Quando colocarmos o dielétrico, a única diferença é que, agora, o campo elétrico será dado por:

E → = E → 0 κ

Portanto:

E → = Q 4 π ϵ 0 κ r 2 r ^

Passo 2

b ) Calcule a energia U 0 armazenada no capacitor na ausência de dielétrico (em função de a ,   b , Q e ϵ 0 ), e a energia U na presença do dielétrico (em função de a ,   b ,   Q ,   ϵ 0 e κ ).

Beleza! Por definição, a energia armazenada em um capacitor é dada por:

U 0 = Q V 0 2

Então, o nosso primeiro trabalho aqui é calcular V 0 .

Por definição, V 0 será dado por:

V 0 = - ∫ C   E → 0 ∙ d r →

Onde a ≤ r ≤ b .

Passo 3

V 0 = - ∫ a b Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

V 0 = - Q 4 π ϵ 0 ∫ a b d r r 2

V 0 = Q 4 π ϵ 0 1 r a b

V 0 = Q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a

Assim, a energia potencial U 0 é dada por:

U 0 = Q V 0 2

Finalmente:

U 0 = Q 2 Q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a

U 0 = Q 2 8 π ϵ 0 1 b - 1 a

Passo 4

Quando adicionarmos o dielétrico, o potencial passará a ser:

V = V 0 κ

Portanto:

U = Q V 2 = Q V 0 2 κ

U = U 0 κ

Finalmente:

U = Q 2 8 π κ ϵ 0 1 b - 1 a

Passo 5

c ) Calcule o vetor campo elétrico E → i devido somente às cargas induzidas (ligadas) no dielétrico.

Nós falamos na letra a que o campo elétrico com o dielétrico passa a ser

E → = E → 0 κ

Na verdade, essa mudança ocorre devido ao campo elétrico das cargas induzidas que aparece por conta do material dielétrico.

Resumindo, o que acontece é o seguinte:

E → = E → 0 + E → i → E → i = E → - E → 0

Portanto:

E → i = Q 4 π ϵ 0 κ r 2 r ^ - Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

E → i = Q 4 π ϵ 0 r 2 1 κ - 1 r ^

E → i = Q 4 π ϵ 0 r 2 1 - κ κ r ^

Resposta

a )

E → = Q 4 π ϵ 0 κ r 2 r ^

b )

U 0 = Q 2 8 π ϵ 0 1 b - 1 a

U = Q 2 8 π κ ϵ 0 1 b - 1 a

c )

E → i = Q 4 π ϵ 0 r 2 1 - κ κ r ^

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