Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor de placas planas e paralelas de área A e separação L preenchido, em uma metade, com um isolante de constante dielétrica κ , conforme mostra a figura abaixo. Nessa situação, a diferença de potencial entre as placas vale V . Considere que   L é muito menor que as dimensões das placas e que o sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.

(a) Determine a capacitância do sistema.

(b) Determine a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor nas regiões com e sem o isolante.

Passo 1

a) Pra calcularmos a capacitância vamos fazer o seguinte: e se a gente dividir o capacitor da figura em 2 capacitores? Um deles preenchido apenas por vácuo – com capacitância C 1 – e o outro preenchido pelo dielétrico – com capacitância C 2 .

Nós podemos fazer isso porque, perceba, a tensão V entre as placas é a soma de V 1 (sem isolante) com V 2 (com isolante) e esses são proporcionais à carga Q armazenada nas placas, pois Q = C V . Assim, dá pra gente perceber que C 1 e C 2 armazenam cargas iguais.

Vamos calcular a capacitância através da fórmula

C = ε 0 A d

Masss, temos que lembrar que o d vale L 2 para ambas as placas.

Depois vamos associar C 1 e C 2 (que estão em série) para encontrarmos C :)

Passo 2

Então vamos lá, calculando C 1 :

C 1 = ε 0 A L / 2 = 2 ε 0 A L

Agora vamos calcular C 2 , lembrando que ele possui um isolante de constante dielétrica κ

C 2 = κ ε 0 A L / 2 = 2 κ ε 0 A L

Fazendo a associação em série de C 1 e C 2 :

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

C = 2 ε 0 A L 2 κ ε 0 A L 2 ε 0 A L + 2 κ ε 0 A L

C = 4 κ ε 0 ² A ² 2 ε 0 A ( κ + 1 ) L

C = 2 κ ε 0 A ( κ + 1 ) L

Passo 3

b) A carga em um capacitor é dada por

Q = C V

Então, no nosso caso ela vai ser

Q = 2 κ ε 0 A ( κ + 1 ) L V

Como o enunciado nos disse que L é muito menor que as dimensões das placas, vamos tratar as placas como infinitas e uniformemente carregadas ok?

Aplicando a Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico na região preenchida por vácuo ( E 0 ) vai ser

E 0 = Q ε 0 A

E 0 = 2 κ ε 0 A ( κ + 1 ) L V ε 0 A

E 0 = 2 κ κ + 1 L V

O campo elétrico E na região com isolante vai ser

E = E 0 κ

E = 2 κ κ + 1 L V κ

E = 2 κ + 1 L V

Resposta

  1. C = 2 κ ε 0 A ( κ + 1 ) L
  2. E 0 = 2 κ κ + 1 L V (sem isolante)

E = 2 κ + 1 L V (com isolante)

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