Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

A figura ao lado ilustra um capacitor de placas esféricas de raios a e b , com a < b .

A placa interna tem carga + Q e a placa externa uma carga - Q , com Q > 0 . Há vácuo entre as placas metálicas e a permissividade elétrica do vácuo é denotada por ϵ 0 .

a Determine o módulo do campo elétrico E r na região interna do capacitor, a < r < b , onde r é a distância ao centro do capacitor.

b Calcule a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

c Determine a capacitância do capacitor.

d Calcule a energia elétrica armazenada no capacitor.

e Se a região entre as placas do capacitor for totalmente preenchida com um dielétrico de constante dielétrica κ , qual é o valor da nova capacitância?

f Qual é o valor da diferença de potencial entre as placas do capacitor após a introdução do dielétrico?

Passo 1

a Determine o módulo do campo elétrico E r na região interna do capacitor, a < r < b , onde r é a distância ao centro do capacitor.

Pra calcular o campo elétrico, vamos utilizar a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica do problema. Logo:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

Nesse caso, a nossa gaussiana é uma esfera de raio r , onde a < r < b , e que envolve a placa interna com carga + Q .

Portanto:

q i n t = + Q

E r . 4 π r 2 = Q ϵ 0

E r = Q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 2

b Calcule a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

O potencial elétrico está relacionado com o campo elétrico através da seguinte equação:

Δ V = - ∫ E → r ∙ d r →

Substituindo a expressão de E r que encontramos no primeiro item e fazendo a integral entre a e b , teremos:

Δ V = - ∫ a b Q 4 π ϵ 0 r 2 d r = - Q 4 π ϵ 0 ∫ a b 1 r 2 d r

Δ V = - Q 4 π ϵ 0   - 1 r a b

Δ V = Q 4 π ϵ 0   1 b - 1 a

Δ V = Q 4 π ϵ 0   a - b a b

Finalmente:

Δ V = Q 4 π ϵ 0   b - a a b

Passo 3

c Determine a capacitância do capacitor.

A capacitância está associada à diferença de potencial por:

C = Q V

Substituindo a expressão da diferença de potencial, teremos:

C = Q Q 4 π ϵ 0   b - a a b

C = 4 π ϵ 0 Q Q   a b b - a

Finalmente:

C = 4 π ϵ 0 a b b - a

Passo 4

d Calcule a energia elétrica armazenada no capacitor.

A energia elétrica em um capacitor é dada por:

U = Q 2 2 C

Substituindo a expressão da capacitância, teremos:

U = Q 2 2 . 4 π ϵ 0 a b b - a

Organizando esse cara, teremos:

U = Q 2 8 π ϵ 0 b - a a b

Passo 5

e Se a região entre as placas do capacitor for totalmente preenchida com um dielétrico de constante dielétrica κ , qual é o valor da nova capacitância?

Se a região for preenchida por um material dielétrico, a permissividade elétrica vai deixar de ser ϵ 0 para ser ϵ , onde:

ϵ = κ ϵ 0

Logo, substituindo isso na expressão da capacitância, teremos:

C ' = 4 π ϵ a b b - a

C ' = 4 π κ ϵ 0 a b b - a

Passo 6

f Qual é o valor da diferença de potencial entre as placas do capacitor após a introdução do dielétrico?

Novamente, quando colocamos o dielétrico, a permissividade deixa de ser ϵ 0 para ser ϵ = κ ϵ 0 . Assim, substituindo isso na expressão do potencial elétrico, teremos:

Δ V ' = Q 4 π ϵ b - a a b

Δ V ' = Q 4 π κ ϵ 0 b - a a b

Resposta

a

E r = Q 4 π ϵ 0 r 2

b

Δ V = Q 4 π ϵ 0 b - a a b

c

C = 4 π ϵ 0 a b b - a

d

U = Q 2 8 π ϵ 0 b - a a b

e

C ' = 4 π κ ϵ 0 a b b - a

f

Δ V ' = Q 4 π κ ϵ 0 b - a a b

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