Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor de placas paralelas, de área A e separação s , é originalmente carregado com carga Q 0 . Desligando—se a bateria, uma lâmina dielétrica de espessura d   d ≪ s e constante dielétrica κ é, então, inserida entre as placas do capacitor.

Calcule:

a ) O vetor E → no interior do dielétrico;

b ) A capacitância desde capacitor;

c ) A diferença de potencial entre as placas do capacitor;

d ) O valor da densidade superficial de carga σ ' induzida nas paredes do dielétrico.

Passo 1

a ) O vetor E → no interior do dielétrico;

De acordo com a Lei de Gauss:

∫ S E → ∙ d A → = Q i n t ϵ

Como se trata de uma material dielétrico, não usamos o ϵ 0 (que é válido apenas para o vácuo ou ar), usaremos agora ϵ , tal que:

ϵ = κ ϵ 0

Voltando ao problema, a Lei de Gauss pode ser simplificada para:

E A = Q 0 κ ϵ 0 → E = Q 0 A κ ϵ 0 = σ 0 κ ϵ 0

O campo elétrico sai da placa carregada positivamente para a placa carregada negativamente.

E → = σ 0 κ ϵ 0   e ^

Onde e ^ é um vetor unitário no sentido do campo elétrico.

Passo 2

b ) A capacitância desde capacitor;

Eu sei que pode parecer bizarro olhando assim de cara, mas uma coisa que pode simplificar é se visualizarmos esse capacitor, na verdade, como uma associação de três capacitores em série: o primeiro sem dielétrico e separação ( s - d ) / 2 ; o segundo com dielétrico e separação d ; e o terceiro sem dielétrico e separação ( s - d ) / 2 .

Assim:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3

Como o primeiro e o terceiro são iguais, C 1 = C 3 = C ' :

1 C = 1 C ' + 1 C ' + 1 C 2

1 C = 2 C ' + 1 C 2

Onde:

C ' = ϵ 0 A ( s - d ) / 2 = 2 ϵ 0 A s - d

C 2 = κ ϵ 0 A d

Substituindo de volta na expressão de C :

1 C = 2 2 ϵ 0 A s - d + 1 κ ϵ 0 A d

Agora é só dar uma arrumada nessa bagunça até ficar com uma cara decente:

1 C = 1 ϵ 0 A s - d + 1 κ ϵ 0 A d

C = ϵ 0 A s - d κ ϵ 0 A d   ϵ 0 A s - d + κ ϵ 0 A d

C = ϵ 0 A κ ϵ 0 A d s - d ϵ 0 A 1 s - d + κ d

C = κ ϵ 0 A d s - d 1 s - d + κ d = κ ϵ 0 A d s - d d + κ s - d d s - d

Finalmente:

C = κ ϵ 0 A d + κ s - d

Passo 3

c ) A diferença de potencial entre as placas do capacitor;

A diferença de potencial vai ser a soma das diferenças de potenciais entre as 3 regiões entre as placas:

Δ V = E 0 s - d 2 + E d d +   E 0 s - d 2

Δ V = E 0 s - d + E d d

Δ V = E 0 s - d + E 0 κ d

Δ V = E 0 s - d + d κ

Δ V = E 0 κ κ s - d + d

Como já vimos anteriormente, E 0 = Q 0 / ϵ 0 A .

Δ V = Q 0 κ ϵ 0 A κ s - d + d  

Passo 4

d ) O valor da densidade superficial de carga σ ' induzida nas paredes do dielétrico.

O campo elétrico quando colocamos um dielétrico na região, é dado por:

E d = σ κ ϵ 0

Certo? Mas sem o dielétrico, o campo elétrico seria E 0 = σ / ϵ 0 . Essa variação ocorre porque, quando colocamos uma material dielétrico, as cargas induzidas produzem um campo elétrico induzido E i n d que se opõe a E 0 , resultando no campo elétrico que calculamos quando colocamos um dielétrico.

Resumindo:

E d = E 0 - E i n d

σ κ ϵ 0 = σ ϵ 0 - σ i ϵ 0

Organizando esse cara, vamos encontrar o seguinte:

σ i = σ κ - 1 κ

Resposta

a )

E → = σ 0 κ ϵ 0   e ^

b )

C = κ ϵ 0 A d + κ s - d

c )

Δ V = Q 0 κ ϵ 0 A κ s - d + d

d )

σ i = σ κ - 1 κ

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