Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor de placas planas e paralelas (área A e separação d ) é carregado até atingir uma diferença de potencial V e uma carga q . Uma placa dielétrica, de constante κ e espessura b , é introduzida entre as placas do capacitor, conforme a figura.

Encontre:

a ) O campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico;

b ) O campo elétrico dentro da placa dielétrica;

c ) A diferença de potencial entre as placas do capacitor depois da introdução da placa dielétrica;

d ) A capacidade do capacitor, depois da introdução da placa dielétrica, em função de κ , d , b A e a permissividade ε 0 ;

Passo 1

a ) O campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico;

De acordo com a Lei de Gauss:

∫ S E → ∙ d A → = Q i n t ϵ

A Lei de Gauss pode ser simplificada para:

E A = q ϵ 0

Logo:

E = q A ϵ 0

Passo 2

b ) O campo elétrico dentro da placa dielétrica;

O campo elétrico no interior do dielétrico é dado por:

E d = E κ

Onde E é o campo elétrico na região sem o dielétrico. Portanto, substituindo E pela expressão que encontramos na letra a , teremos:

E d = q A κ ϵ 0

Passo 3

c ) A diferença de potencial entre as placas do capacitor depois da introdução da placa dielétrica;

A diferença de potencial entre as placas de um capacitor está associada ao campo elétrico por:

V = E d

Onde d é a separação entre as placas.

Aqui, essa região pode ser dividida em três partes:

Eu sei que pode parecer bizarro olhando assim de cara, mas uma coisa que pode simplificar é se visualizarmos esse capacitor, na verdade, como uma associação de três capacitores em série: o primeiro sem dielétrico e separação ( d - b ) / 2 ; o segundo com dielétrico e separação b ; e o terceiro sem dielétrico e separação ( d - b ) / 2 .

Assim, a diferença de potencial entre as placas será:

V = V 1 + V 2 + V 3

Sendo assim:

V = E 1 d - b 2 + E 2 b + E 3 d - b 2

V = q A ϵ 0 d - b 2 + q A κ ϵ 0 b + q A ϵ 0 d - b 2  

Agora é só organizar esse cara:

V = q d - b 2 A ϵ 0 + q b A κ ϵ 0 + q d - b 2 A ϵ 0

V = q d - b A ϵ 0 + q b A κ ϵ 0

V = q A ϵ 0 d - b + b κ

Finalmente:

V = q A κ ϵ 0 κ d - b + b

Passo 4

d ) A capacidade do capacitor, depois da introdução da placa dielétrica, em função de κ , d , b A e a permissividade ε 0 ;

Assim como falamos na letra c , podemos imaginar esse cara como uma associação de 3 capacitores em série.

Sendo assim:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3

Como o primeiro e o terceiro são iguais, vamos dar uma simplificada nisso, falando que C 1 = C 3 = C ' :

1 C = 1 C ' + 1 C ' + 1 C 2

1 C = 2 C ' + 1 C 2

Onde:

C ' = ϵ 0 A ( d - b ) / 2 = 2 ϵ 0 A ( d - b )

C 2 = κ ϵ 0 A b

Substituindo de volta na expressão de C :

1 C = 2 2 ϵ 0 A ( d - b ) + 1 κ ϵ 0 A b

Agora é só dar uma arrumada nessa bagunça até ficar com uma cara decente:

1 C = 1 ϵ 0 A ( d - b ) + 1 κ ϵ 0 A b

C = ϵ 0 A ( d - b ) κ ϵ 0 A b   ϵ 0 A ( d - b ) + κ ϵ 0 A b

C = ϵ 0 A κ ϵ 0 A b d - b ϵ 0 A 1 d - b + κ b

C = κ ϵ 0 A b d - b 1 d - b + κ b = κ ϵ 0 A d s - d b + κ d - b b d - b

Finalmente:

C = κ ϵ 0 A b + κ d - b

Resposta

a )

E = q A ϵ 0

b )

E d = q A κ ϵ 0

c )

V = q A κ ϵ 0 κ d - b + b

d )

C = κ ϵ 0 A b + κ d - b

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