Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor plano-paralelo tem placas idênticas de área A , cada uma, com separação L entre elas (conforme parte superior da figura ao lado). Numa primeira etapa, tal capacitor é ligado a uma bateria até atingir um módulo de diferença de potencial V 0 entre suas placas e, imediatamente, desconectado da bateria.

  1. Determine o módulo E 0 do campo elétrico e a energia eletrostática armazenada U 0 .
  2. Numa segunda etapa um isolante de constante dielétrica K é inserido no capacitor, preenchendo pela metade região entre suas placas, conforme mostrado na parte inferior da figura ao lado.

  3. Determine o módulo V da nova diferença de potencial entre as placas.
  4. Determine o módulo E i ( i = 1 , 2 , 3 ) do novo campo elétrico em cada uma das duas “metades” ( 1 e 2 ) entre as placas.
  5. Determine a nova energia eletrostática armazenada U .

Passo 1

Bom, temos a voltagem e a separação entre as placas. O macete é usar a fórmula do potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Só que ele deu o módulo V 0 , então vamos trabalhar tudo em módulo:

V 0 = - ∫ C E 0 d r

Como temos que E 0 é constante, integramos d r ao longo do caminho, que é igual ao comprimento do mesmo:

V 0 = E 0 ∫ C d r

V 0 = E 0 L

Clássico resultado de capacitores:

E 0 = V 0 L

Passo 2

Agora podemos aplicar a fórmula da energia armazenada para matar a questão, escolhendo a mais adequada:

U 0 = C 0 V 0 2 2

A capacitância podemos jogar direto aquela nossa fórmula de bolso:

C 0 = ϵ 0 A L

U 0 = ϵ 0 A 2 L V 0 2

Passo 3

Como temos duas regiões em série, a voltagem entre elas é a soma das voltagens. Logo:

V = V 1 + V 2

Podemos achar esses módulos de voltagens integrando o campo, que é uniforme, na região onde estão definidas cada uma delas:

V 1 = E 0 ∫ 0 L / 2 d r

V 1 = E 0 L 2

Já o outro, é a mesma integral só que a voltagem é dividida pela constante dielétrica:

V 2 = E 0 L 2 K

Somando:

V = E 0 L 2 + E 0 L 2 K

V = E 0 L 1 2 + 1 2 K

Substituindo o valor da voltagem original V 0 :

V = V 0 2 1 + 1 K

Passo 4

O campo na primeira região é o mesmo de antes, porque lá não mudou nada.

E 1 = E 0

Na segunda região (onde enfiam um dielétrico) é só dividir pela constante dielétrica:

E 2 = E 0 K

Passo 5

Para calcular a nova energia armazenada é só substituir na fórmula:

U = C V 2 2

A voltagem nova nós temos... A capacitância nova não... Vamos ter que calcular ela ou tentar outra fórmula. Eu tentaria brincar com essa aqui:

U = Q V 2

A voltagem nós temos e a carga nova é igual. A carga de dois elementos em série é igual. Logo:

U = Q 0 V 2

U = Q 0 2 V 0 2 1 + 1 K

A carga antiga entra na equação relacionando com a capacitância:

C 0 = Q 0 V 0 → Q 0 = C 0 V 0

E a capacitância antiga nós temos.

C 0 = ϵ 0 A L

U = Q 0 V 0 4 1 + 1 K

U = C 0 V 0 2 4 1 + 1 K

U = ϵ 0 A 4 L V 0 2 1 + 1 K

Resposta

E 0 = V 0 L

V = V 0 2 1 + 1 K

E 1 = E 0

E 2 = E 0 K

U = ϵ 0 A 4 L V 0 2 1 + 1 K

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