Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Duas placas condutoras paralelas, de área A e separação L , estão conectadas a uma bateria que provê uma diferença de potencial V . As placas são aproximadas uma da outra, mantendo-se paralelas, até que sua separação seja L / 3 . Considere que L é muito menor do que as dimensões das placas, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.

  1. Determine a carga armazenada no capacitor formado pelas placas antes e depois da aproximação.
  2. As placas são, então, desligadas da bateria e depois a separação das placas é restaurada ao valor L . Qual é a diferença entre a energia potencial eletrostática final e a inicial (antes da aproximação) armazenada no capacitor?

Passo 1

a) Na situação inicial, antes da aproximação, a capacitância do sistema vale C 0 = ϵ 0 A / L . Assim, a carga total armazenada inicialmente é:

Q 0 = C 0 V     ⇒     Q 0 = ϵ 0 A L   V   .

Quando a distância entre as placas é reduzida a L / 3 , a nova capacitância C 1 do sistema será

C 1 = ϵ 0 A L 3 = 3   C 0   .

Se a bateria é mantida ligada às placas mesmo depois que distância foi para L / 3 , então significa que diferença de potencial continua sendo igual a V nessa nova situação.

Agora, se V é o mesmo na nova configuração em que capacitância é C 1 = 3 C 0 , isso significa que a nova carga armazenada Q 1 vai ter que ser maior do que seu valor inicial, o que vai nos dar o seguinte:

Q 1 = C 1 V     ⇒     Q 1 = 3 Q 0 = 3 ϵ 0 A L   V > Q 0     .

Passo 2

b) Após a bateria ser desligada, a carga que fica armazenada nas placas do capacitor será aquela que o capacitor tinha na configuração em que a distância entre as placas é de L / 3 :

Q 1 = 3 Q 0   ,

e esse valor será o mesmo após aumentarmos novamente para L a distância entre as placas, ou seja, a carga Q 2 nesse segunda etapa é igual

Q 2 = Q 1 = 3 Q 0    

e a capacitância volta a ser C 0 , isto é, retorna ao seu valor inicial: C 2 = C 0 .

Passo 3

b) Continuação...

Com isso, no final desse segunda etapa, o capacitor terá uma energia U 2 que é dada por:

U 2 = Q 2 2 2 C 2 = Q 1 2 2 C 0 = 3 Q 0 2 2 C 0       ⇒     U 2 = 9 U 0   .  

Na situação inicial, antes da aproximação, a energia armazenada no capacitor vale:

U 0 = C 0 V 2 2 = Q 0 2 2 C 0 2 = ϵ 0 A 2 L   V 2   .

Finalmente, a diferença de energia entre as situações final e inicial vale:

Δ U = U 2 - U 0 = 9 U 0 - U 0 = 8 U 0   ,

o que nos dá

Δ U = 4 ϵ 0 A L   V 2   .

Resposta

  1. Q 1 = 3 Q 0 = 3 ϵ 0 A L   V   ;
  2. Δ U = 4 ϵ 0 A L   V 2   .

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