Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Uma esfera condutora de raio a , carregada com carga + Q , está cercada por uma camada condutora esférica concêntrica de raio c , carregada com carga - Q . O espaço entre r = a e r = b está preenchido com um material dielétrico de constante dielétrica κ . O espaço entre r = b e r = c é vácuo. Determine:

a) O vetor campo elétrico para:

i. a < r < b

ii. b < r < c

iii. r > c

b) A diferença de potencial entre r = a e r = c , ou seja V a - V c .

c) A capacitância do conjunto.

Passo 1

Então pessoal, nessa questão a gente tem que ficar atento pra um detalhe: a presença do dielétrico.

Normalmente esse problema seria resolvendo usando a lei de Gauss nessa forma aqui:

∬ E → ∙ d S → = Q T ε 0

Mas quando surge um dielétrico de constante κ no meio, temos que fazer uma pequena alteração:

κ ∬ E → ∙ d S → = Q T ε 0

Beleza? O Q continua sendo a carga total contida na nossa superfície Gaussiana.

Então vamos lá.

Passo 2

Pra encontrar o campo elétrico na região com a < r < b , vamos escolher uma esfera como nossa superfície gaussiana, e uma que tenha um raio r exatamente nesse intervalo:

Por simetria esférica, o campo deve apontar na direção radial, que nós vamos chamar de r ^ :

E → = E r r ^

E o vetor d S → , que deve ser normal à nossa superfície Gaussiana, também aponta nessa mesma direção:

d S → = d S   r ^

Então, como r ^ ∙ r ^ = 1 , aquele produto interno dentro da integral fica:

E → ∙ d S → = E d S r ^ ∙ r ^ = E   d S

Ou seja:

κ ∬ E   d S = Q T ε 0

O campo elétrico é constante ao longo da superfície, então podemos tirar ele da integral:

κ E ∬ d S = Q T ε 0

Agora essa integral dupla de d S é simplesmente a área da nossa superfície gaussiana, que é uma esfera de raio r :

∬ d S = 4 π r 2

Então, como a carga contida no interior da superfície S é + Q mesmo:

κ E 4 π r 2 = Q ε 0

Agora é só isolar o campo elétrico nessa equação:

E = Q k 4 π ε 0 r 2

E como vimos antes:

E → = E r   r ^

Então:

E → = Q k 4 π ε 0 r 2   r ^

Na região a < r < b .

Passo 3

O que acontece na região b < r < c ? Agora estamos fora do dielétrico e ainda dentro da casca esférica de raio c .

Bom, é só dar uma esticada naquela nossa superfície gaussiana:

Bom, a quantidade total de carga contida na nossa gaussiana continua a mesma, concorda? Então o que tem de errado em continuar usando a nossa fórmula de antes?

E → = Q κ 4 π ε 0 r 2   r ^

Ah! Uma diferença importante, agora a nossa gaussiana não está no interior do dielétrico, então temos que usar κ = 1 (que é o valor da constante dielétrica no vácuo).

E → = Q 1 4 π ε 0 r 2   r ^

E → = Q 4 π ε 0 r 2   r ^

Então essa é a fórmula do campo elétrico na região b < r < c .

Passo 4

E agora vamos ver como fica a situação quando partimos para a região r > c :

A simetria continua a mesma, então aquela integral de antes continua igual (ainda com κ = 1 ):

∬ E   d S = Q T ε 0

Mas agora a carga total contida na gaussiana é zero:

Q T = + Q - Q = 0

Então:

∬ E   d S = 0

Ou seja:

E → = 0

Na região r > c .

Passo 5

(b) O próximo passo é calcular a diferença de potencial entre as duas partes carregadas.

Aquele dielétrico ali pode te confundir um pouco, mas vamos com calma.

A definição do potencial elétrico continua valendo! Vamos usar ela aqui:

V = ∫ C E → ∙ d l →

O que essa integral aí está dizendo? Bom, a gente tem que escolher um caminho C que vá desde a camada de raio c até a superfície da esfera de raio a . Que tal uma linha reta?

O campo elétrico é paralelo àquele caminho C em todos os pontos da trajetória, então o produto interno é:

E → ∙ d l → = E   d l

E a integral é:

V = ∫ c a E   d l

Mas o campo não é o mesmo o tempo todo! Entre a e b , a fórmula do campo é:

E = Q k 4 π ε 0 r 2

E entre b e c a constante κ vira 1 , porque estamos no vácuo:

E = Q 4 π ε 0 r 2

Quando colocamos isso na integral acontece o seguinte:

V = ∫ c b Q 4 π ε 0 r 2   d l + ∫ b a Q k 4 π ε 0 r 2   d l

Como a gente está indo do raio r = c até o raio r = a   (ou seja, raio diminuindo):

d l = - d r

Então, reorganizando um pouco:

V = Q 4 π ε 0 ∫ c b - 1 r 2   d r + 1 κ ∫ b a - 1 r 2   d r

A integral de - 1 / r 2 é 1 / r , então:

V = Q 4 π ε 0 1 b - 1 c + 1 κ 1 a - 1 b

Agora vamos organizar um pouco:

V = Q 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b

Então essa é a diferença de potencial entre as duas superfícies!

Passo 6

(c) Agora a última etapa é calcular a capacitância do conjunto. Temos que usar essa fórmula aqui:

q = C V

E q é o módulo da carga em cada uma das placas, que no nosso caso é Q . Substituindo com a fórmula que a gente encontrou para o potencial entre as placas:

Q = C Q 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b

Dividindo os dois lados por Q e isolando C :

1 = C 1 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b

C = 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b

Resposta

(a) O vetor campo elétrico é (i) E → = Q k 4 π ε 0 r 2   r ^ na região a < r < b ; (ii)   E → = Q 4 π ε 0 r 2   r ^ na região b < r < c e (iii) E → = 0 na região r > c .

(b) A diferença de potencial entre os dois pontos é V = Q 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b .

(c) A capacitância do conjunto é C = 4 π ε 0 c - b b c + 1 κ b - a a b .

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