Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

Considere o sistema, mostrado em corte na figura ao lado, que é constituído por uma casca cilíndrica fina de raio R 1 e comprimento infinito na qual flui uma corrente i 1 para cima e, coaxial a ela, uma outra casca cilíndrica, desta vez com raio interno R 2 e externo R 3 e também comprimento infinito, com uma corrente i 2 ( i 2 > i 1 ) apontando para baixo.

Calcule o vetor campo magnético em todas as regiões ( r   <   R 1 ,   R 1   <   r   <   R 2 ,   R 2   <   r   <   R 3   e   r   >   R 3 )   sabendo que as correntes estão distribuídas uniformemente.

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Vamos resolver essa questão de magnetismo? O problema nos dá um sistema que tem um fio com corrente i 1 apontando para cima e uma casca cilíndrica (por fora desse fio) com raio R 2 e R 3 , que percorre uma corrente i 2 para baixo

Saca só o esboço desse sistema

Para determinar o campo magnético em todas as regiões, vamos usar a lei de Ampère, ela diz o seguinte:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Nossa curva será um círculo, pela simetria, temos que o campo magnético (dado pela regra da mão direita), será sempre paralelo ao vetor d l → , e será sempre constante, temos então:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

Então a ideia é em cada região

  • r < R 1
  • R 1 < r < R 2
  • R 2 < r < R 3
  • r > R 3

Aplicar a Lei de Ampére, levando em conta a magnitude das correntes ( i 2 > i 1 ) e o sentido delas!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar pela primeira região: r < R 1

Para essa região, a corrente interna vai variar para cada valor de r , por isso precisamos determinar a corrente para cada valor de r ! A corrente por unidade de área é dada por:

i 1 π . R 1 2

Para diferentes valores de r , a corrente fica:

I i n t = π . r 2 . i 1 π . R 1 2

Agora é só jogar na lei de Ampère!

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

B → . 2 . π . r = μ 0 . π . r 2 . i 1 π . a 2   ϕ ^

B → r = μ 0 . r . i 1 2 . π . R 1 2   ϕ ^

Tranquilo?

Passo 3

Agora fazendo para a segunda região: R 1 < r < R 2

Para essa região, temos que a corrente interna será toda a corrente que passa no cilindro central ( i 1 ), a Lei de Ampère fica assim:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

B → . 2 . π . r = μ 0 . i 1   ϕ ^

B → r = μ 0 . i 1 2 . π . r   ϕ ^

Passo 4

Agora nossa missão é achar o campo na região R 2 < r < R 3 . Lembrando que i 1 flui pra cima e i 2 fui pra baixo!

Para essa região, devemos fazer o mesmo raciocínio da região r < R 1 , pois a corrente interna na casca vai variar com r , temos então que a corrente por unidade de área é dada por:

- i 2 π . ( R 3 2 - R 2 2 )

Para diferentes valores de r , a corrente interna fica:

I ' i n t = - π r 2 - R 2 2 i 2 π ( R 3 2 - R 2 2 )

Vamos agora aplicar a Lei de Ampère, mas lembre-se, não podemos esquecer da corrente que passa pelo cilindro central, a corrente interna à Amperiana será:

I i n t = i 1 - π . r 2 - R 2 2 i 2 π . ( R 3 2 - R 2 2 )

Beleza?

Agora sim, vamos aplicar a Lei de Ampère:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

B → . 2 . π . r = μ 0 . i 1 - π . r 2 - R 2 2 i 2 π . ( R 3 2 - R 2 2 )   ϕ ^

B → r = μ 0   2 . π . r i 1 - r 2 - R 2 2 i 2 ( R 3 2 - R 2 2 )   ϕ ^

Tranquilo? Estamos quase no final!

Passo 5

Nossa última região é em r > R 3 , nessa região vamos somar (levando em conta o sentido delas) as correntes, pois elas estarão completas dentro da nossa amperiana!

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

B → . 2 . π . r = μ 0 . ( i 1 - i 2 ) ϕ ^

E o campo magnético nesse ponto é

B → = μ 0 2 π r . ( i 1 - i 2 ) ϕ ^

E é isso! Espero ter ajudado!

#partiu treinar mais?

Resposta

r < R 1 :   B → r = μ 0 . r . i 1 2 . π . R 1 2   ϕ ^

R 1 < r < R 2 : B → r = μ 0 . i 1 2 . π . r   ϕ ^

R 2 < r < R 3 : B → r = μ 0   2 . π . r i 1 - r 2 - R 2 2 i 2 ( R 3 2 - R 2 2 )   ϕ ^

r > R 3 : B → = μ 0 2 π r . ( i 1 - i 2 ) ϕ ^

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