Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

Considere um toroide com N espiras de raio interno R 1 e raio externo R 2 (ver figura). Cada espira é percorrida por uma corrente elétrica i .

a) Determine o módulo do campo magnético no interior do toroide, i.e., para R 1 < r < R 2 .

b) Se colocarmos no centro do toroide um fio longo e retilíneo, colinear com o eixo do toroide, qual é a intensidade e sentido da elétrica i f no fio que anulará o campo magnético no interior do toroide?

Passo 1

Fala galerinha, broca brincar um pouco com campos magnéticos?

No problema temos um toroide com várias espiras e raio interno R 1 e raio externo R 2 .No item (a) queremos achar o campo magnético no interior do toroide.

Para resolver esse problema, vamos lembrar primeiro do campo magnético no interior de um solenoide:

B = μ 0 N i L ,

onde N é o número de espiras e L o comprimento do solenoide. Vale ressaltar que esse campo é uniforme!

Agora vem o pulo do gato: se a gente torcer o solenoide e juntar suas extremidades nós obtemos o toroide! Com isso, o campo dentro do toroide também será uniforme e dado por

B = μ 0 N i L

Mas nesse caso, quem é o L ? Podemos pensar nesse comprimento como o comprimento de um círculo:

L = 2 π R

Mas que raio R é esse? Podemos tomar a média entre R 1 e R 2 :

R = R 1 + R 2 2 → L = π R 1 + R 2

Assim,

B = μ 0 N i π R 1 + R 2

Esse campo será uniforme, porém sua direção será tangencial, de modo que “faz a curva” assim como o toroide. A seguir representamos a linha de campo:

O sentido é esse pela regra da mão direita:

Passo 2

Agora vamos para o item (b). O enunciado diz que um fio infinito é colocado no centro do toroide. Queremos saber qual deve ser a corrente no fio e o sentido dela para que o campo produzido por ela anule o campo do toroide.

Vimos no passo 1 que o campo do toroide gira no sentido horário. Assim, o campo produzido pelo fio deve girar no sentido anti-horário para que eles possam se cancelar:

O campo a uma distância R do fio é dado por

B f i o = μ 0 i ' 2 π R

Usando R = ( R 1 + R 2 ) / 2 , de modo que

B f i o = μ 0 i ' π R 1 + R 2

Passo 3

Para que os campos se anulem, devemos ter

μ 0 i ' π R 1 + R 2 = μ 0 N i π R 1 + R 2

Portanto, a corrente no fio deve ser para cima e seu valor deve ser

i ' = N i

Isso significa que a corrente do fio deve ser igual a soma das correntes em cada espira do toroide. O sentido deve ser para cima para que o campo produzido esteja no sentido anti-horário e possa anular o campo do toroide!

Com isso terminamos o problema 😊.

Resposta

B = μ 0 N i π R 1 + R 2

i ' = N i

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