Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

Esta questão é constituída de duas partes independentes.

Parte 1

Uma casca esférica isolante de raio R possui uma carga positiva Q   >   0 uniformemente distribuída. Uma carga q negativa e de massa M passa pelo ponto A, a uma distância d   =   9 R da superfície da casca, com velocidade v em direção ao centro da casca esférica, como indicado na figura abaixo. A carga q pode ser considerada tão pequena que não influencia a distribuição de cargas na casca esférica.

Nesta situação:

a) Calcule o potencial do ponto A.

b) Calcule a velocidade com a qual a carga q irá colidir com a casca esférica.

Parte 2

Um sistema de placas planas e paralelas possui um diagrama de potencial de acordo com a figura abaixo.

c) Faça o gráfico do valor do campo elétrico E ( x ) , indicando claramente os valores do campo em cada região.

d) Na região entre os pontos D e E, a placa é isolante ou condutora? Justifique claramente a sua resposta.

e) Calcule a densidade superficial de carga na superfície B. (para os cálculos, considere ε 0 = 9 × 10 - 12   C 2 / N m 2 )

Passo 1

PARTE 1:

POW! Queremos calcular o potencial feito pela esfera no ponto A ...

De acordo com a teoria, uma esfera de carga Q produz um potencial fora dela que é idêntico ao potencial de uma carga pontual centra no centro da esfera...

V = k Q l

Onde l é a distância do ponto que estamos buscando o potencial ao centro da origem. No nosso caso...

l = d + R

Só que d = 9 R , então o potencial no ponto A será...

V A = k Q 9 R + R   →

V A = k Q 10 R

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, para esse exercício, iremos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade que a partícula irá colidir com a esfera.

Sabemos que a variação da energia potencial elétrica ∆ U é igual à variação da energia cinética ∆ K ...

∆ U = ∆ K

Passo 3

A variação da energia potencial elétrica por sua vez depende apenas da variação potencial onde a carga se encontra até onde a carga vai estar...

∆ U = q   ∆ V   →

∆ U = q   V e s f e r a - V A   →

V e s f e r a é o potencial na superfície da esfera que é onde a carga vai estar na colisão. Já V A é o potencial da carga no ponto A (calculado no item anterior).

∆ U = q   V e s f e r a - k Q 10 R   →

O potencial na esfera é basicamente a mesma coisa, mas ao invés de 10 R teremos R apenas (distância de um ponto qualquer da esfera até a origem da esfera)...

∆ U = q   k Q R - k Q 10 R   →

∆ U = q   9 k Q 10 R   →

∆ U =   9 k q Q 10 R  

Passo 4

Por outro lado, a variação da energia cinética ∆ K é a energia cinética no ponto final...

K f i n a l = 1 2 M v f i n a l 2

Menos a energia cinética inicial (energia cinética no ponto A )...

K A = 1 2 M v 2

Ou seja...

∆ K = 1 2 M v f i n a l 2 - 1 2 M v 2  

Veja que é a velocidade final quem estamos buscando, ou seja, v f i n a l ...

Então...

∆ U = ∆ K     →

  9 k q Q 10 R = 1 2 M v f i n a l 2 - 1 2 M v 2

Isolando v f i n a l ...

  9 k q Q 10 R + 1 2 M v 2 = 1 2 M v f i n a l 2       →

v f i n a l = 9 k q Q 5 M R + v 2  

Passo 5

L e t r a   C :

Bem, sabemos que o campo elétrico E (ou pelo menos a componente x dele) e o potencial estão associados pela fórmula...

E x = - d V d x

Então o que vamos fazer aqui é pegar o gráfico...

Encontrar a equação dessas retas V x e depois derivar em cada trecho .

Passo 6

Mas para ser mais rápido ainda, vamos veja bem... Toda reta pode ser escrita como...

V x = a x + b

Logo...

E x = - d V d x = - a

Então o que temos que encontrar é o coeficiente a de cada reta.

O coeficiente a pode ser simplesmente ser determinado pegando...

a = ∆ y ∆ x

Então veja bem... Para a primeira reta, de x = - 4 a x = - 2 ...

O ∆ y = - 2 - 6 = - 8 e o ∆ x = - 2 - - 4 = 2 , então...

a 1 = - 8 2 = - 4

Ou seja, o campo elétrico para esse primeiro trecho é...

E x p r i m e i r o = - a = 4     V / m

Para o segundo trecho, de x = - 2 a x = - 1 , como temos uma reta constante...

E x s e g u n d o = 0     V / m

Para o terceiro trecho ∆ y = 2 - - 2 = 4 e ∆ x = 1 - - 1 = 2 ...

E x t e r c e i r o = - 4 2 = - 2   V / m

No quarto trecho, de x = 1 a x = 2 , o potencial volta a ficar constante, o que significa que...

E x q u a r t o = 0     V / m

No último trecho, de x = 2 a x = 3 , ∆ y = 4 - 2 = 2 e ∆ x = 3 - - 2 = 1

E x q u i n t o = - 2 1 = - 2   V / m

Agora é só construir o gráfico inserindo os valores desses potenciais em cada trecho...

Passo 7

L e t r a   D :

Ora... Sabemos da teoria que o potencial só será constante se o material for um condutor! Assim, como o trecho entre D e E o potencial é constante, o trecho é um condutor .

Passo 8

L e t r a   E :

Como a placa A B é um material isolante, na superfície B vai haver uma densidade superficial de carga σ . Só que a placa B C é um condutor (potencial constante) então o campo elétrico nessa região será 0 . Para isso acontecer, o campo elétrico na placa B tem que ser...

E = - 4   V / m

Já que da placa A B o campo é E A B = 4   V / m , ta ligado? Assim o total é 0   V / m . A densidade de carga então pode ser relacionada com esse campo elétrico...

E = σ ε 0     →

σ = E ε 0     →

Ou seja...

σ = - 4 9 × 10 - 12   →

σ = - 36 × 10 - 12   C / m 2

Resposta

Letra A:

V A = k Q 10 R

Letra B:

v f i n a l = 9 k q Q 5 M R + v 2

Letra C:

Letra D: Condutor.

Letra E:

σ = - 36 × 10 - 12   C / m 2

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